Hai nhà toán học hiện đang báo cáo rằng họ đã có những tiến bộ đáng kể trong một bài toán lâu đời chưa có lời giải trong lĩnh vực toán học. Bài toán này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa theo cách nâng cao bằng cách sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được phản biện), hóa ra rằng việc xem xét các khía cạnh thông qua ống kính hình học có thể tiết lộ những đặc tính thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự đặt câu hỏi về diện tích tối thiểu có thể mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, được xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này giống như một con quay trong trò chơi boardgame hoặc một người trình diễn với đũa, vì vậy đầu kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng sự thật lại phức tạp hơn rất nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các kim khác nhau và vị trí của các kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “ nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích trong bài viết cho Quanta. Điều này tạo ra các hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể gợi nhớ cho bạn về đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu của bạn. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn sẽ bao quanh cùng một kim xoay như một chiếc đũa.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào mà điều đó có thể là - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya - được đặt theo tên người phát hiện Sōichi Kakeya - đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này - cùng với những câu hỏi khác tương tự, tất cả đều làm thỏa mãn những người đã bị cuốn hút vào những khái niệm tương tự - đã tạo ra một chuỗi domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của chai Klein (một hình ảnh mang tính biểu tượng của hình dạng bốn chiều bị chen chúc trong một phiên bản ba chiều mà bộ não con người của chúng ta có thể phân tích), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy thậm chí những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã tồn tại và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc từ hơn 100 năm trước, khi cả hai người đều ở đỉnh cao sự nghiệp toán học của mình... theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã liên tục tìm hiểu các loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc điểm khác nhau. Dĩ nhiên, không có giới hạn nào về số chiều mà một sự vật có thể có.
Như thường lệ trong những bước tiến đột phá ngày nay, bí quyết cho các nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - chính là việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách suy nghĩ theo cách sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều ý tưởng mới với sự tài ba kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm thấy một phát biểu về sự giao nhau của các ống mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng xử lý hơn bằng một phương pháp mạnh mẽ gọi là quy nạp theo thang.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ chính yếu đối với bài toán gốc, Wang và Zahl đã mở nó ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo thang. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp bắt đầu bằng việc thiết lập mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng cách sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ riêng 1 và 2. Quy nạp theo thang cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... được rồi... thang của một thứ gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc các hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể cách xa một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng nhất định - giống như một cái vặn xoắn, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số chiều ba khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal Terence Tao (người cũng là một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ấn tượng.” Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện sau hàng thập kỷ khi mọi người làm việc qua những phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận đã có một số điểm nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa, bây giờ đã có phần này. Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Fields Medal tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như những người trẻ nói, có thể đang “phát triển” đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự đặt câu hỏi về diện tích tối thiểu có thể mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, được xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này giống như một con quay trong trò chơi boardgame hoặc một người trình diễn với đũa, vì vậy đầu kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng sự thật lại phức tạp hơn rất nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các kim khác nhau và vị trí của các kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “ nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích trong bài viết cho Quanta. Điều này tạo ra các hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể gợi nhớ cho bạn về đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu của bạn. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn sẽ bao quanh cùng một kim xoay như một chiếc đũa.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào mà điều đó có thể là - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya - được đặt theo tên người phát hiện Sōichi Kakeya - đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này - cùng với những câu hỏi khác tương tự, tất cả đều làm thỏa mãn những người đã bị cuốn hút vào những khái niệm tương tự - đã tạo ra một chuỗi domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của chai Klein (một hình ảnh mang tính biểu tượng của hình dạng bốn chiều bị chen chúc trong một phiên bản ba chiều mà bộ não con người của chúng ta có thể phân tích), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy thậm chí những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã tồn tại và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc từ hơn 100 năm trước, khi cả hai người đều ở đỉnh cao sự nghiệp toán học của mình... theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã liên tục tìm hiểu các loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc điểm khác nhau. Dĩ nhiên, không có giới hạn nào về số chiều mà một sự vật có thể có.
Như thường lệ trong những bước tiến đột phá ngày nay, bí quyết cho các nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - chính là việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách suy nghĩ theo cách sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều ý tưởng mới với sự tài ba kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm thấy một phát biểu về sự giao nhau của các ống mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng xử lý hơn bằng một phương pháp mạnh mẽ gọi là quy nạp theo thang.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ chính yếu đối với bài toán gốc, Wang và Zahl đã mở nó ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo thang. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp bắt đầu bằng việc thiết lập mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng cách sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ riêng 1 và 2. Quy nạp theo thang cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... được rồi... thang của một thứ gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc các hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể cách xa một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng nhất định - giống như một cái vặn xoắn, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số chiều ba khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal Terence Tao (người cũng là một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ấn tượng.” Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện sau hàng thập kỷ khi mọi người làm việc qua những phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận đã có một số điểm nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa, bây giờ đã có phần này. Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Fields Medal tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như những người trẻ nói, có thể đang “phát triển” đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
