Hai nhà toán học hiện nay đã có những bước tiến mới trong một vấn đề toán học chưa được giải quyết từ rất lâu. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo lường hình học, nơi mà các tập hợp các đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi dựa trên các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được công nhận qua đồng nghiệp), việc xem xét mọi thứ qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên kết nhiều phân môn.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn một vòng tròn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái nĩa trong trò chơi board game hoặc một người xoay gậy, và cây kim khi quay phải tạo thành một hình tròn. Nhưng sự thật thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng: “Nếu bạn di chuyển nó theo cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều.” Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao bọc cây kim quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào như vậy - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya - được đặt theo tên người phát hiện ra, Sōichi Kakeya - đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể mà liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng những điểm có thể được đặt gần nhau đến mức chúng gần như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự - đều hấp dẫn đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự, đã đẩy một hàng domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của một bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông này ở trong thời kỳ đỉnh cao toán học của họ. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải cố gắng đối phó với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với các thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một cái gì đó có thể có.
Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này - Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc định hình lại vấn đề gian nan bằng cách tư duy theo cách khác. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl ở UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng mặc dù nó dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng kết quả này kết hợp nhiều hiểu biết mới với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống mà rộng hơn so với dự đoán Kakeya và dễ dàng hơn trong việc giải quyết bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp trên quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ chính xác cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp thường liên quan đến việc chỉ ra một mối liên hệ giữa, chẳng hạn, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một sự tổng quát bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... well... quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng theo toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng - giống như một cái xoắn ốc, hình tròn hoặc nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của các ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính của các cây kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt giải Fields Medal Terence Tao (một người nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại những phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình mà có phần chạm khắc và phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận nhiều nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thiện.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có khả năng sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Như các bạn trẻ vẫn nói, toán học có thể đang “dần hé lộ” đầy hứa hẹn cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn một vòng tròn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái nĩa trong trò chơi board game hoặc một người xoay gậy, và cây kim khi quay phải tạo thành một hình tròn. Nhưng sự thật thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng: “Nếu bạn di chuyển nó theo cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều.” Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao bọc cây kim quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào như vậy - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya - được đặt theo tên người phát hiện ra, Sōichi Kakeya - đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể mà liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng những điểm có thể được đặt gần nhau đến mức chúng gần như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự - đều hấp dẫn đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự, đã đẩy một hàng domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của một bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông này ở trong thời kỳ đỉnh cao toán học của họ. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải cố gắng đối phó với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với các thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một cái gì đó có thể có.
Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này - Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc định hình lại vấn đề gian nan bằng cách tư duy theo cách khác. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl ở UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng mặc dù nó dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng kết quả này kết hợp nhiều hiểu biết mới với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống mà rộng hơn so với dự đoán Kakeya và dễ dàng hơn trong việc giải quyết bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp trên quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ chính xác cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp thường liên quan đến việc chỉ ra một mối liên hệ giữa, chẳng hạn, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một sự tổng quát bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... well... quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng theo toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng - giống như một cái xoắn ốc, hình tròn hoặc nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của các ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính của các cây kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt giải Fields Medal Terence Tao (một người nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại những phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình mà có phần chạm khắc và phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận nhiều nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thiện.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có khả năng sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Như các bạn trẻ vẫn nói, toán học có thể đang “dần hé lộ” đầy hứa hẹn cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
