Trình duyệt của bạn không hỗ trợ phần tử âm thanh.
Hai nhà toán học hiện nay đã đạt được những tiến bộ trong một bài toán lâu đời chưa được giải quyết. Bài toán này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa theo cách tiên tiến bằng cách sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được đánh giá bởi các đồng nghiệp), việc xem xét các đối tượng qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này cực kỳ giá trị trong lĩnh vực toán học đa ngành ngày càng phát triển.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, khiến các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất nơi một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này như một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người đang vung gậy, vì cây kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian cơ bản có thể bị tái sử dụng bởi những cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm được tốt hơn nhiều,” Joseph Howllette giải thích với Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình dạng gần giống hình tam giác có thể gợi nhớ lại trò chơi vẽ Spirograph lúc nhỏ của bạn. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao trọn cây kim quay như một cây gậy. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể — bất kỳ hình dạng nào đó xảy ra — qua nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không.
Định nghĩa cụ thể này liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng những điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này — cùng với những câu hỏi khác tương tự — đã đổ một dòng domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy hình minh họa của bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhét vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ về một bài tập suy nghĩ từ lý thuyết đo hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả các phiên bản mới nhất của những câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông này đang ở đỉnh cao toán học của mình... nói một cách tương đối.
Kể từ đó, các nhà toán học đã vật lộn với nhiều loại tập Kakeya trong các loại không gian khác nhau và với các đặc điểm khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong những phát hiện đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học — Hong Wang của Đại học New York và Joshua Zahl của Đại học British Columbia — là định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách suy nghĩ bên ngoài. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự khéo léo kỹ thuật tuyệt vời.” Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về các giao điểm ống, mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là induction on scales (biện chứng trên quy mô).
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ quan trọng cho vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh được gọi là induction on scale. Chứng minh kinh điển bằng phương pháp quy nạp liên quan đến việc cho thấy một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Induction on scale thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng... quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hoặc hình dạng kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng — như một cái xoắn, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một ba chiều nhất định của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này sau đó có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những cây kim mà nó bao quanh.
Người đoạt giải Fields Medal Terence Tao (một nhà toán học nổi bật trong lĩnh vực liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ huy hoàng.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện sau nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại nhiều phần nhỏ của cùng một vấn đề — một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi chú ngay một số nơi mà công việc có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây phần này đã được đặt ra. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Fields Medal tiếp theo, giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Có thể nói, "toán học" như trẻ con nói, có thể đang "diễn ra" với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
Hai nhà toán học hiện nay đã đạt được những tiến bộ trong một bài toán lâu đời chưa được giải quyết. Bài toán này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa theo cách tiên tiến bằng cách sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được đánh giá bởi các đồng nghiệp), việc xem xét các đối tượng qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này cực kỳ giá trị trong lĩnh vực toán học đa ngành ngày càng phát triển.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, khiến các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất nơi một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này như một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người đang vung gậy, vì cây kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian cơ bản có thể bị tái sử dụng bởi những cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm được tốt hơn nhiều,” Joseph Howllette giải thích với Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình dạng gần giống hình tam giác có thể gợi nhớ lại trò chơi vẽ Spirograph lúc nhỏ của bạn. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao trọn cây kim quay như một cây gậy. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể — bất kỳ hình dạng nào đó xảy ra — qua nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không.
Định nghĩa cụ thể này liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng những điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này — cùng với những câu hỏi khác tương tự — đã đổ một dòng domino mà cuối cùng đã giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy hình minh họa của bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhét vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ về một bài tập suy nghĩ từ lý thuyết đo hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả các phiên bản mới nhất của những câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông này đang ở đỉnh cao toán học của mình... nói một cách tương đối.
Kể từ đó, các nhà toán học đã vật lộn với nhiều loại tập Kakeya trong các loại không gian khác nhau và với các đặc điểm khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong những phát hiện đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học — Hong Wang của Đại học New York và Joshua Zahl của Đại học British Columbia — là định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách suy nghĩ bên ngoài. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự khéo léo kỹ thuật tuyệt vời.” Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về các giao điểm ống, mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là induction on scales (biện chứng trên quy mô).
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ quan trọng cho vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh được gọi là induction on scale. Chứng minh kinh điển bằng phương pháp quy nạp liên quan đến việc cho thấy một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Induction on scale thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng... quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hoặc hình dạng kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng — như một cái xoắn, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một ba chiều nhất định của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này sau đó có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những cây kim mà nó bao quanh.
Người đoạt giải Fields Medal Terence Tao (một nhà toán học nổi bật trong lĩnh vực liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ huy hoàng.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện sau nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại nhiều phần nhỏ của cùng một vấn đề — một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi chú ngay một số nơi mà công việc có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây phần này đã được đặt ra. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Fields Medal tiếp theo, giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Có thể nói, "toán học" như trẻ con nói, có thể đang "diễn ra" với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
