Gần đây, hai nhà toán học đã đạt được những tiến bộ ấn tượng trong việc giải quyết một vấn đề toán học cổ xưa mà vẫn chưa có lời giải. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực con tên là lý thuyết đo hình học, nơi mà các tập hợp đối tượng được khái quát hóa một cách nâng cao thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Nghiên cứu gần đây của bộ đôi này (mặc dù chưa qua kiểm duyệt) cho thấy việc xem xét các đối tượng dưới góc độ hình học có thể tiết lộ những đặc tính thú vị khác mà chúng chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng đa ngành.
Trong một câu hỏi đặc biệt về hình học được gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích tối thiểu mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể xoay một cách hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung ra một thứ gì đó giống như một chiếc quạt trong trò chơi hoặc một người biểu diễn với gậy. Tuy nhiên, thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette giải thích cho Quanta rằng “[n]ếu bạn di chuyển nó một cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình delta, một hình tam giác mà có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình delta có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao quanh cây kim xoay như một cây gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu vấn đề này đang cố gắng tìm ra hình delta nhỏ nhất có thể—dù hình dạng cuối cùng là gì—trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Điều này là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một món đồ cụ thể bằng các điểm có thể được xích lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi khác tương tự, tất cả đều mang lại sự hấp dẫn cho những ai đã đắm mình trong những khái niệm tương tự—đã dẫn đến sự ra đời của lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một minh họa về bình Klein (một hình ảnh biểu trưng của hình dạng bốn chiều được nhồi lại trong một phiên bản ba chiều mà bộ não chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh ít nhất trong 55 năm. Nhưng thực ra, chúng đã có từ cách đây 100 năm, khi cả hai người đều ở trong thời kỳ đỉnh cao toán học của mình… theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã không ngừng tìm cách giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian và với các thuộc tính khác nhau. Sau cùng, không có giới hạn nào về số chiều mà một cái gì đó có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá gần đây, bí quyết cho hai nhà toán học này—Hong Wang đến từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là tái định hình vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo hướng khác. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng sự giải quyết này kết hợp nhiều nhận thức mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kinh ngạc”. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một phát biểu về sự giao nhau của các ống, điều này vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng tiếp cận hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các vấn đề chính, Wang và Zahl đã mở ra vấn đề này cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chứng minh mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị là 1 và một giá trị là 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa thông qua ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với… à, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hay các hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng đã cho—giống như một cái xoắn ốc, hình tròn, hay nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định cho chính nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các cây kim mà nó bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields, Terence Tao (một người cũng nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa đục đẽo vừa giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra rằng có nhiều điểm trong công việc này có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được đặt ra.
Zahl tốt nghiệp cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được trao cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “đi đúng hướng” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt về hình học được gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích tối thiểu mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể xoay một cách hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung ra một thứ gì đó giống như một chiếc quạt trong trò chơi hoặc một người biểu diễn với gậy. Tuy nhiên, thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette giải thích cho Quanta rằng “[n]ếu bạn di chuyển nó một cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình delta, một hình tam giác mà có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình delta có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao quanh cây kim xoay như một cây gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu vấn đề này đang cố gắng tìm ra hình delta nhỏ nhất có thể—dù hình dạng cuối cùng là gì—trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Điều này là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một món đồ cụ thể bằng các điểm có thể được xích lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi khác tương tự, tất cả đều mang lại sự hấp dẫn cho những ai đã đắm mình trong những khái niệm tương tự—đã dẫn đến sự ra đời của lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một minh họa về bình Klein (một hình ảnh biểu trưng của hình dạng bốn chiều được nhồi lại trong một phiên bản ba chiều mà bộ não chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh ít nhất trong 55 năm. Nhưng thực ra, chúng đã có từ cách đây 100 năm, khi cả hai người đều ở trong thời kỳ đỉnh cao toán học của mình… theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã không ngừng tìm cách giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian và với các thuộc tính khác nhau. Sau cùng, không có giới hạn nào về số chiều mà một cái gì đó có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá gần đây, bí quyết cho hai nhà toán học này—Hong Wang đến từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là tái định hình vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo hướng khác. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng sự giải quyết này kết hợp nhiều nhận thức mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kinh ngạc”. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một phát biểu về sự giao nhau của các ống, điều này vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng tiếp cận hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các vấn đề chính, Wang và Zahl đã mở ra vấn đề này cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chứng minh mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị là 1 và một giá trị là 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa thông qua ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với… à, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hay các hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng đã cho—giống như một cái xoắn ốc, hình tròn, hay nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định cho chính nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các cây kim mà nó bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields, Terence Tao (một người cũng nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa đục đẽo vừa giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra rằng có nhiều điểm trong công việc này có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được đặt ra.
Zahl tốt nghiệp cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được trao cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “đi đúng hướng” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
