Hai nhà toán học gần đây đã đạt được tiến bộ trong một bài toán nổi tiếng nhưng chưa được giải quyết trong lĩnh vực toán học. Bài toán này thuộc về một nhánh gọi là lý thuyết đo lường hình học, nơi mà các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi thông qua các đặc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa qua kiểm duyệt), việc xem xét các vấn đề qua lăng kính hình học có thể tiết lộ nhiều đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này rất có giá trị trong bối cảnh toán học ngày càng có nhiều phân ngành liên kết với nhau.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, nơi các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng hoặc kim quay có thể hoàn thành một vòng quay 360 độ. Bạn có thể hình dung ra hình ảnh như một con quay trong trò chơi hoặc một người dây batôn, với chiếc kim không khác gì một vòng tròn. Nhưng thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các hình kim khác nhau, và các vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Như Joseph Howlette đã giải thích trên Quanta, "nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều". Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn gợi nhớ đến món đồ chơi Spirograph cũ kỹ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một kim quay như một chiếc baton.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm kiếm hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kể hình dạng đó sẽ ra sao - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện là Sōichi Kakeya, đã được phức tạp hóa bởi nhà toán học Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya khi di chuyển vào các số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa đặc biệt liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể định nghĩa và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này - cùng với những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều gây sự tò mò cho những ai đã tiếp xúc với các khái niệm tương tự - đã tạo ra một loạt các biến chuyển mà cuối cùng đã giúp hình thành nên lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của bình Klein (một biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà trí não chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ về bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đang ở giai đoạn đỉnh cao của sự nghiệp toán học... nếu có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải "đập đầu" vào nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc điểm khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết của hai nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo chiều ngang.
Theo một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên "những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới mẻ cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc." Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm thấy một tuyên bố về các giao điểm ống (tube intersections) vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô. Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ các vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra một kiểu chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Phương pháp chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng, quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm nằm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nhất định - như một cái xoắn ốc, vòng tròn hay một nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều không gian ba chiều cho riêng mình khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các đặc tính về những hình kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal, Terence Tao (một người cũng rất nổi tiếng trong lĩnh vực toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là "một bước tiến tuyệt vời". Những chứng minh phức tạp như thế này thường mất nhiều thập kỷ để hình thành khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa chạm khắc vừa giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm nơi công trình có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây phần này đã có sẵn. Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho thấy cô sinh ra năm 1991. Giải thưởng Fields Medal, tổ chức dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như những gì giới trẻ thường nói, có thể đang "thú vị" đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, nơi các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng hoặc kim quay có thể hoàn thành một vòng quay 360 độ. Bạn có thể hình dung ra hình ảnh như một con quay trong trò chơi hoặc một người dây batôn, với chiếc kim không khác gì một vòng tròn. Nhưng thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các hình kim khác nhau, và các vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Như Joseph Howlette đã giải thích trên Quanta, "nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều". Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn gợi nhớ đến món đồ chơi Spirograph cũ kỹ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một kim quay như một chiếc baton.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm kiếm hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kể hình dạng đó sẽ ra sao - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện là Sōichi Kakeya, đã được phức tạp hóa bởi nhà toán học Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya khi di chuyển vào các số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa đặc biệt liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể định nghĩa và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này - cùng với những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều gây sự tò mò cho những ai đã tiếp xúc với các khái niệm tương tự - đã tạo ra một loạt các biến chuyển mà cuối cùng đã giúp hình thành nên lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa của bình Klein (một biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà trí não chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ về bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đang ở giai đoạn đỉnh cao của sự nghiệp toán học... nếu có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải "đập đầu" vào nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc điểm khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong những bước đột phá ngày nay, bí quyết của hai nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo chiều ngang.
Theo một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên "những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới mẻ cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc." Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm thấy một tuyên bố về các giao điểm ống (tube intersections) vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô. Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ các vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra một kiểu chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Phương pháp chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng, quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì những đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm nằm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nhất định - như một cái xoắn ốc, vòng tròn hay một nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều không gian ba chiều cho riêng mình khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các đặc tính về những hình kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal, Terence Tao (một người cũng rất nổi tiếng trong lĩnh vực toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là "một bước tiến tuyệt vời". Những chứng minh phức tạp như thế này thường mất nhiều thập kỷ để hình thành khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa chạm khắc vừa giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm nơi công trình có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây phần này đã có sẵn. Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho thấy cô sinh ra năm 1991. Giải thưởng Fields Medal, tổ chức dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như những gì giới trẻ thường nói, có thể đang "thú vị" đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
