Hai nhà toán học hiện nay đã tuyên bố rằng họ đã có những bước tiến quan trọng trong một bài toán toán học rất cũ chưa được giải. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo đạc hình học, trong đó các tập hợp các đối tượng được tổng quát hóa theo cách tiên tiến sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được phản biện), việc xem xét mọi thứ qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc tính thú vị mà các đối tượng này chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học đang ngày càng có sự liên kết giữa các chuyên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, nơi mà các nhà toán học tự hỏi về diện tích nhỏ nhất có thể mà một đường thẳng, hay một chiếc kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này như một con quay trong trò chơi bàn hoặc một người vung gậy, nên chiếc kim quay sẽ chỉ tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các chiếc kim khác nhau, và vị trí của những chiếc kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “[T]hay vì di chuyển nó một cách ngốc nghếch, nếu bạn thay đổi nó một cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn,” Joseph Howllette giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra các hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà bạn có thể nhớ đến từ món đồ chơi Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn mà bao quanh chiếc kim đang quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm hình deltoid nhỏ nhất có thể – bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể trở thành – trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó, Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác có tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích đo bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao bọc một đối tượng cụ thể bằng những điểm có thể được đặt gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này – và những câu hỏi khác tương tự – đã thúc đẩy việc phát triển lý thuyết đo đạc hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình vẽ của bình Klein (một mô tả biểu tượng của một hình bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo đạc hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc cách đây 100 năm, khi hai người đó đang ở giai đoạn đỉnh cao trong sự nghiệp toán học của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã vật lộn với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Rốt cuộc, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường lệ trong các đột phá hiện nay, bí quyết cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – nằm ở việc định hình lại vấn đề khó khăn bằng cách suy nghĩ sáng tạo. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông về kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ xử lý hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ quan trọng đối với vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở nó ra một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển theo quy nạp liên quan đến việc chứng minh một mối quan hệ giữa, nói, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... ừm... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc các hình dáng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc đường viền hình dạng nào đó – giống như một cái xoắn ốc, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một độ ba chiều nhất định khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những chiếc kim mà chúng bao quanh.
Giải thưởng Fields – mà chỉ trao cho các nhà toán học dưới 40 tuổi – sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ vẫn nói, có thể đang “vận hành” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, nơi mà các nhà toán học tự hỏi về diện tích nhỏ nhất có thể mà một đường thẳng, hay một chiếc kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này như một con quay trong trò chơi bàn hoặc một người vung gậy, nên chiếc kim quay sẽ chỉ tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các chiếc kim khác nhau, và vị trí của những chiếc kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “[T]hay vì di chuyển nó một cách ngốc nghếch, nếu bạn thay đổi nó một cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn,” Joseph Howllette giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra các hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà bạn có thể nhớ đến từ món đồ chơi Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn mà bao quanh chiếc kim đang quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này cơ bản đang cố gắng tìm hình deltoid nhỏ nhất có thể – bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể trở thành – trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó, Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác có tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích đo bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao bọc một đối tượng cụ thể bằng những điểm có thể được đặt gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này – và những câu hỏi khác tương tự – đã thúc đẩy việc phát triển lý thuyết đo đạc hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình vẽ của bình Klein (một mô tả biểu tượng của một hình bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo đạc hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc cách đây 100 năm, khi hai người đó đang ở giai đoạn đỉnh cao trong sự nghiệp toán học của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã vật lộn với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Rốt cuộc, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường lệ trong các đột phá hiện nay, bí quyết cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – nằm ở việc định hình lại vấn đề khó khăn bằng cách suy nghĩ sáng tạo. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông về kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ xử lý hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ quan trọng đối với vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở nó ra một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển theo quy nạp liên quan đến việc chứng minh một mối quan hệ giữa, nói, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... ừm... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc các hình dáng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc đường viền hình dạng nào đó – giống như một cái xoắn ốc, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một độ ba chiều nhất định khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những chiếc kim mà chúng bao quanh.
Giải thưởng Fields – mà chỉ trao cho các nhà toán học dưới 40 tuổi – sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ vẫn nói, có thể đang “vận hành” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
