Trong lĩnh vực toán học, đôi khi chúng ta lại chứng kiến những bước đột phá đáng kinh ngạc, và mới đây, hai nhà toán học Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) đã công bố một bằng chứng dài 125 trang, có thể mang lại sự tiến bộ lớn trong lý thuyết đo hình học - một lĩnh vực đã tồn tại hơn một thế kỷ. Vấn đề họ giải quyết có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ mã hóa đến khoa học máy tính và lý thuyết số.
Câu hỏi trung tâm mà họ nghiên cứu chính là: Khi quay một đoạn thẳng 360 độ, diện tích mà nó chiếm dụng là bao nhiêu? Để hình dung, bạn có thể nghĩ đến hình ảnh một spinner trong trò chơi board game hoặc một người tung gậy. Điều đặc biệt là, hình dạng không đơn giản chỉ là một vòng tròn, mà phức tạp hơn nhiều vì không gian có thể được sử dụng lại cho các đoạn thẳng khác nhau.
Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, chúng ta hãy cùng xem xét khái niệm về tập Kakeya, được phát hiện bởi nhà toán học Sōichi Kakeya. Tập này đặt ra câu hỏi về việc diện tích nhỏ nhất mà một đoạn thẳng, hay "kim", có thể quay tròn hoàn toàn là bao nhiêu. Có thể hình dung rằng, hình dạng của tập Kakeya có thể là một hình deltoid, một hình gần giống như hình tam giác, và có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn chứa đoạn thẳng đó. Các nhà toán học đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất, bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể có, trong nhiều không gian khác nhau.
Tập Kakeya đã được làm phức tạp bởi một nhà toán học khác, Abram Samoilovitch Besicovitch, người đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya khi chuyển đổi sang số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như không còn, với một ý nghĩa trực giác rằng nó không có diện tích nào cả.
Câu hỏi này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trong suốt một thế kỷ qua. Mặc dù Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, nhưng những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này vẫn chưa được giải quyết trong ít nhất 55 năm qua. Các nhà toán học đã nỗ lực tìm hiểu nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau, vì không có giới hạn nào cho số chiều mà một sự vật có thể có.
Điểm đột phá của Wang và Zahl nằm ở cách họ định hình lại vấn đề phức tạp này bằng cách sử dụng tư duy sáng tạo. Họ áp dụng một phương pháp gọi là "định chứng theo tỷ lệ", cho phép tìm ra một mối quan hệ tổng quát hơn về các giao điểm của các hình trụ, điều này dễ dàng hơn để xử lý. Bằng cách làm rõ và thay thế các yếu tố trong bài toán gốc, họ đã mở ra một cách chứng minh mới.
Rất nhiều nhà toán học vĩ đại đều đã nhìn nhận công trình này với sự kỳ vọng. Terence Tao, một người đoạt huy chương Fields và là một trong những nhà toán học ưu tú, đã phân tích chi tiết bằng chứng này trong một bài viết trên blog của ông. Ông gọi đây là "sự tiến bộ tuyệt vời" và cho rằng công trình này mở ra cơ hội để phát triển tiếp các khía cạnh khác trong tương lai.
Với những thành công này, có khả năng cao rằng Wang và Zahl, những nhà toán học còn rất trẻ, sẽ ghi danh vào những danh sách nổi tiếng trong ngành toán, khi mà huy chương Fields tiếp theo sẽ được trao tặng vào năm 2026 cho những nhà toán học dưới 40 tuổi. Ai biết được, có lẽ đây sẽ là dấu mốc khởi đầu cho những phát hiện vĩ đại tiếp theo trong lĩnh vực toán học.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Câu hỏi trung tâm mà họ nghiên cứu chính là: Khi quay một đoạn thẳng 360 độ, diện tích mà nó chiếm dụng là bao nhiêu? Để hình dung, bạn có thể nghĩ đến hình ảnh một spinner trong trò chơi board game hoặc một người tung gậy. Điều đặc biệt là, hình dạng không đơn giản chỉ là một vòng tròn, mà phức tạp hơn nhiều vì không gian có thể được sử dụng lại cho các đoạn thẳng khác nhau.
Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, chúng ta hãy cùng xem xét khái niệm về tập Kakeya, được phát hiện bởi nhà toán học Sōichi Kakeya. Tập này đặt ra câu hỏi về việc diện tích nhỏ nhất mà một đoạn thẳng, hay "kim", có thể quay tròn hoàn toàn là bao nhiêu. Có thể hình dung rằng, hình dạng của tập Kakeya có thể là một hình deltoid, một hình gần giống như hình tam giác, và có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn chứa đoạn thẳng đó. Các nhà toán học đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất, bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể có, trong nhiều không gian khác nhau.
Tập Kakeya đã được làm phức tạp bởi một nhà toán học khác, Abram Samoilovitch Besicovitch, người đã đưa ra ý tưởng rằng một tập Kakeya khi chuyển đổi sang số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như không còn, với một ý nghĩa trực giác rằng nó không có diện tích nào cả.
Câu hỏi này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trong suốt một thế kỷ qua. Mặc dù Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, nhưng những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này vẫn chưa được giải quyết trong ít nhất 55 năm qua. Các nhà toán học đã nỗ lực tìm hiểu nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau, vì không có giới hạn nào cho số chiều mà một sự vật có thể có.
Điểm đột phá của Wang và Zahl nằm ở cách họ định hình lại vấn đề phức tạp này bằng cách sử dụng tư duy sáng tạo. Họ áp dụng một phương pháp gọi là "định chứng theo tỷ lệ", cho phép tìm ra một mối quan hệ tổng quát hơn về các giao điểm của các hình trụ, điều này dễ dàng hơn để xử lý. Bằng cách làm rõ và thay thế các yếu tố trong bài toán gốc, họ đã mở ra một cách chứng minh mới.
Rất nhiều nhà toán học vĩ đại đều đã nhìn nhận công trình này với sự kỳ vọng. Terence Tao, một người đoạt huy chương Fields và là một trong những nhà toán học ưu tú, đã phân tích chi tiết bằng chứng này trong một bài viết trên blog của ông. Ông gọi đây là "sự tiến bộ tuyệt vời" và cho rằng công trình này mở ra cơ hội để phát triển tiếp các khía cạnh khác trong tương lai.
Với những thành công này, có khả năng cao rằng Wang và Zahl, những nhà toán học còn rất trẻ, sẽ ghi danh vào những danh sách nổi tiếng trong ngành toán, khi mà huy chương Fields tiếp theo sẽ được trao tặng vào năm 2026 cho những nhà toán học dưới 40 tuổi. Ai biết được, có lẽ đây sẽ là dấu mốc khởi đầu cho những phát hiện vĩ đại tiếp theo trong lĩnh vực toán học.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
