Hai nhà toán học vừa tuyên bố rằng họ đã có những tiến triển trong một bài toán cũ chưa được giải quyết trong ngành toán học. Bài toán này thuộc một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, nơi các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa theo cách nâng cao thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của cặp đôi này (chưa được bình duyệt), việc xem xét các vấn đề từ góc độ hình học có thể mở ra những đặc tính thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này rất có giá trị trong lĩnh vực toán học đang ngày càng giao thoa.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, trong đó các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất có thể có khi một đường thẳng hoặc chiếc kim được quay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người múa gậy, với chiếc kim được quay tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, sự thật lại phức tạp hơn nhiều, bởi không gian có thể được tái sử dụng bởi những chiếc kim khác nhau, và vị trí của các chiếc kim không cần phải có cùng một điểm chính giữa. "[N]ếu bạn trượt nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều," Joseph Howlett giải thích trên Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ hình Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao quanh cùng một chiếc kim đang quay như một cái gậy. Các nhà toán học đang nghiên cứu vấn đề này chủ yếu cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó là gì—trong một loạt các loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên của nhà phát minh Sōichi Kakeya, đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật cụ thể bằng các điểm có thể bị đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Nhờ đó, câu hỏi này—cùng với nhiều câu hỏi khác tương tự—đã đánh dấu một chuỗi các sự kiện giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình ảnh của một chai Klein (một hình ảnh mang tính biểu tượng của một hình bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở trong độ tuổi vàng của họ trong lĩnh vực toán học... theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải "đập đầu" vào nhiều loại tập Kakeya trong các không gian và thuộc tính khác nhau. Bởi sau tất cả, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Giống như nhiều đột phá ngày nay, bí quyết của các nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là tìm cách định hình lại vấn đề khó khăn thông qua tư duy khác lạ. Trong một thông cáo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl từ UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên "những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc." Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, cả hai đều tổng quát hơn dự đoán của Kakeya và dễ dàng được giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các điểm chính trong vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở vấn đề ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, giả sử, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải bài toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình dạng kim đơn giản. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm cách nhau một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường thẳng, đường cong, hay đường viền hình dạng nhất định—như một cái vít, vòng tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để thể hiện các thuộc tính về những chiếc kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields, Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là "tiến bộ ngoạn mục." Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lần lượt nghiên cứu những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa là một phần chạm khắc và vừa là một phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã lưu ý một số nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây phần này đã được hoàn tất.
Zahl lấy bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có lẽ sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang ghi rằng cô ấy sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang "có tâm."
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học được gọi là tập Kakeya, trong đó các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất có thể có khi một đường thẳng hoặc chiếc kim được quay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người múa gậy, với chiếc kim được quay tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, sự thật lại phức tạp hơn nhiều, bởi không gian có thể được tái sử dụng bởi những chiếc kim khác nhau, và vị trí của các chiếc kim không cần phải có cùng một điểm chính giữa. "[N]ếu bạn trượt nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều," Joseph Howlett giải thích trên Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ hình Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn sẽ bao quanh cùng một chiếc kim đang quay như một cái gậy. Các nhà toán học đang nghiên cứu vấn đề này chủ yếu cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó là gì—trong một loạt các loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên của nhà phát minh Sōichi Kakeya, đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật cụ thể bằng các điểm có thể bị đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Nhờ đó, câu hỏi này—cùng với nhiều câu hỏi khác tương tự—đã đánh dấu một chuỗi các sự kiện giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng thấy một hình ảnh của một chai Klein (một hình ảnh mang tính biểu tượng của một hình bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở trong độ tuổi vàng của họ trong lĩnh vực toán học... theo cách nói. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải "đập đầu" vào nhiều loại tập Kakeya trong các không gian và thuộc tính khác nhau. Bởi sau tất cả, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Giống như nhiều đột phá ngày nay, bí quyết của các nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là tìm cách định hình lại vấn đề khó khăn thông qua tư duy khác lạ. Trong một thông cáo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl từ UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên "những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc." Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, cả hai đều tổng quát hơn dự đoán của Kakeya và dễ dàng được giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các điểm chính trong vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở vấn đề ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, giả sử, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải bài toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình dạng kim đơn giản. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm cách nhau một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường thẳng, đường cong, hay đường viền hình dạng nhất định—như một cái vít, vòng tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để thể hiện các thuộc tính về những chiếc kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields, Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là "tiến bộ ngoạn mục." Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lần lượt nghiên cứu những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa là một phần chạm khắc và vừa là một phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã lưu ý một số nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây phần này đã được hoàn tất.
Zahl lấy bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có lẽ sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang ghi rằng cô ấy sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang "có tâm."
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
