Hai nhà toán học mới đây đã có những bước tiến đáng chú ý trong một vấn đề toán học rất lâu đời mà vẫn chưa có lời giải. Vấn đề này liên quan đến một nhánh con có tên là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa theo cách nâng cao, sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được đánh giá bởi các đồng nghiệp), việc xem xét các đối tượng dưới góc độ hình học có thể làm lộ ra những đặc tính thú vị khác mà những đối tượng này có thể chia sẻ, điều này rất có giá trị trong lĩnh vực toán học đang ngày càng đa dạng về ngành con.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, mà các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay mũi kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái quay trong trò chơi trên bàn hoặc một người vẫy gậy, vì vậy mũi kim quay phải tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, thực tế phức tạp hơn nhiều, bởi vì không gian có thể được tái sử dụng cho các mũi kim khác nhau và vị trí của các mũi kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “[T]hỉnh thoảng nếu bạn di chuyển theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra những hình dạng như deltoid, một hình tương tự như tam giác có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi xưa. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một mũi kim quay giống như một người vẫy gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình dạng deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó cuối cùng sẽ ra sao—trong một loạt các loại không gian khác nhau. Tập Kakeya—được đặt theo tên của người khám phá Sōichi Kakeya—đã được một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch phức tạp hơn. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển sang một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh các ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi tương tự khác—tất cả đều khiến những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự cảm thấy say mê và đã gợi ý một loạt các vấn đề mà cuối cùng giúp hình thành lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của một bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể xử lý), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã bắt nguồn từ cách đây 100 năm, khi cả hai người đều ở thời kỳ đỉnh cao của sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đập đầu vào những loại tập Kakeya khác nhau trong các loại không gian khác nhau và với những thuộc tính khác nhau. Sau tất cả, chẳng có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá hiện nay, bí mật cho các nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng tư duy sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, nhưng sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống không những chung hơn cả giả thuyết Kakeya mà còn dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo kích thước.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ quan trọng cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó tới một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo kích thước. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo kích thước thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... ừm... kích thước của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình dạng mũi kim đơn giản. Mọi người chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cách xa một đường, đường cong, hoặc hình dạng cụ thể—giống như một cái vặn, vòng tròn, hay nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều khi được áp dụng vào một hình hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính của các mũi kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi tác phẩm này là “tiến bộ ngoạn mục.” Các chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện trong nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quy trình vừa là việc đục khoét vừa là việc giải mã từng chữ một. Trong phần phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thành. Zahl đã nhận được bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, vốn chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể sẽ “phát triển” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, mà các nhà toán học thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay mũi kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái quay trong trò chơi trên bàn hoặc một người vẫy gậy, vì vậy mũi kim quay phải tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, thực tế phức tạp hơn nhiều, bởi vì không gian có thể được tái sử dụng cho các mũi kim khác nhau và vị trí của các mũi kim không cần phải có cùng một điểm giữa. “[T]hỉnh thoảng nếu bạn di chuyển theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra những hình dạng như deltoid, một hình tương tự như tam giác có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi xưa. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một mũi kim quay giống như một người vẫy gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình dạng deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó cuối cùng sẽ ra sao—trong một loạt các loại không gian khác nhau. Tập Kakeya—được đặt theo tên của người khám phá Sōichi Kakeya—đã được một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch phức tạp hơn. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển sang một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh các ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi tương tự khác—tất cả đều khiến những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự cảm thấy say mê và đã gợi ý một loạt các vấn đề mà cuối cùng giúp hình thành lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của một bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể xử lý), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã bắt nguồn từ cách đây 100 năm, khi cả hai người đều ở thời kỳ đỉnh cao của sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đập đầu vào những loại tập Kakeya khác nhau trong các loại không gian khác nhau và với những thuộc tính khác nhau. Sau tất cả, chẳng có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá hiện nay, bí mật cho các nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là việc định hình lại vấn đề hóc búa này bằng tư duy sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, nhưng sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống không những chung hơn cả giả thuyết Kakeya mà còn dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo kích thước.
Bằng cách thực hiện những thay thế và làm rõ quan trọng cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó tới một loại chứng minh được gọi là quy nạp theo kích thước. Chứng minh quy nạp cổ điển liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo kích thước thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... ừm... kích thước của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình dạng mũi kim đơn giản. Mọi người chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cách xa một đường, đường cong, hoặc hình dạng cụ thể—giống như một cái vặn, vòng tròn, hay nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều khi được áp dụng vào một hình hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính của các mũi kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi tác phẩm này là “tiến bộ ngoạn mục.” Các chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện trong nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quy trình vừa là việc đục khoét vừa là việc giải mã từng chữ một. Trong phần phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số nơi mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã được hoàn thành. Zahl đã nhận được bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, vốn chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể sẽ “phát triển” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
