Hai nhà toán học vừa công bố có những bước tiến mới trong một bài toán lâu đời chưa có lời giải. Bài toán này thuộc một lĩnh vực gọi là lý thuyết đo hình học, nơi mà các tập hợp được tổng quát hóa theo cách tiên tiến thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa qua kiểm duyệt), việc khảo sát sự vật qua lăng kính hình học có thể giúp phát hiện những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này mang giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học, được gọi là tập Kakeya, đã khiến các nhà toán học băn khoăn về diện tích tối thiểu có thể có, nơi mà một đường thẳng (hay một cây kim) được quay hoàn toàn 360 độ. Các bạn có thể hình dung như một con quay trong trò chơi board game hoặc một người vung gậy, do đó, cây kim khi quay chỉ cần tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi nhiều cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không cần phải cùng một trung điểm. “[Nếu] bạn di chuyển nó theo cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình dạng gần giống như tam giác có thể khiến bạn nhớ lại trò chơi Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn bao quanh cây kim đang quay như một người vung gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang tìm kiếm hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể là - trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật cụ thể bằng các điểm có thể được xếp gần lại với nhau cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan mà không có sự hỗ trợ từ toán học. Do đó, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự - đã dẫn đến sự ra đời của lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn từng thấy hình minh họa của chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhồi vào phiên bản ba chiều mà bộ não của con người có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài toán từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở ra và chưa được chứng minh ít nhất là trong 55 năm. Nhưng thực tế chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đang ở thời kỳ đỉnh cao trong sự nghiệp toán học của mình... có thể nói là như vậy.
Kể từ đó, các nhà toán học đã nỗ lực tìm lời giải cho nhiều loại tập Kakeya trong các không gian và với các đặc tính khác nhau. Dẫu sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong các bước đột phá hiện nay, bí quyết của hai nhà toán học - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc tái hình dung vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy bên ngoài. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nó dựa trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với kỹ năng kỹ thuật đáng kinh ngạc. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao cắt của các ống, vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ dàng hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.”
Bằng cách thực hiện các biến đổi và làm rõ quan trọng đối với vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển bao gồm việc chỉ ra mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến các giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán để mà một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, chứ không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... vâng, quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của mình, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hoặc hình kim đơn giản. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dáng nào đó - như một chiếc ốc vít, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi được áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog của mình, nơi ông cũng gọi công trình này là “bước tiến ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc một phần vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số điểm nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa khi phần này đã được đặt ở đúng chỗ.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, điều này có nghĩa là ông có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Huy chương Fields tiếp theo, dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể sẽ “hái ra nhiều quả ngọt” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học, được gọi là tập Kakeya, đã khiến các nhà toán học băn khoăn về diện tích tối thiểu có thể có, nơi mà một đường thẳng (hay một cây kim) được quay hoàn toàn 360 độ. Các bạn có thể hình dung như một con quay trong trò chơi board game hoặc một người vung gậy, do đó, cây kim khi quay chỉ cần tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi nhiều cây kim khác nhau, và vị trí của các cây kim không cần phải cùng một trung điểm. “[Nếu] bạn di chuyển nó theo cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một hình dạng gần giống như tam giác có thể khiến bạn nhớ lại trò chơi Spirograph thời thơ ấu. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn bao quanh cây kim đang quay như một người vung gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang tìm kiếm hình deltoid nhỏ nhất có thể - bất kỳ hình dạng nào mà nó có thể là - trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào một số chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật cụ thể bằng các điểm có thể được xếp gần lại với nhau cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan mà không có sự hỗ trợ từ toán học. Do đó, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự - đã dẫn đến sự ra đời của lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn từng thấy hình minh họa của chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhồi vào phiên bản ba chiều mà bộ não của con người có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài toán từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở ra và chưa được chứng minh ít nhất là trong 55 năm. Nhưng thực tế chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đang ở thời kỳ đỉnh cao trong sự nghiệp toán học của mình... có thể nói là như vậy.
Kể từ đó, các nhà toán học đã nỗ lực tìm lời giải cho nhiều loại tập Kakeya trong các không gian và với các đặc tính khác nhau. Dẫu sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có. Như thường thấy trong các bước đột phá hiện nay, bí quyết của hai nhà toán học - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - nằm ở việc tái hình dung vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy bên ngoài. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nó dựa trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, sự giải quyết này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với kỹ năng kỹ thuật đáng kinh ngạc. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao cắt của các ống, vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ dàng hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.”
Bằng cách thực hiện các biến đổi và làm rõ quan trọng đối với vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh quy nạp cổ điển bao gồm việc chỉ ra mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến các giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán để mà một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, chứ không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với... vâng, quy mô của một cái gì đó.
Trong chứng minh của mình, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hoặc hình kim đơn giản. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dáng nào đó - như một chiếc ốc vít, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi được áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết chi tiết trên blog của mình, nơi ông cũng gọi công trình này là “bước tiến ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc một phần vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số điểm nơi công việc có thể được lặp lại một lần nữa khi phần này đã được đặt ở đúng chỗ.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, điều này có nghĩa là ông có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải Huy chương Fields tiếp theo, dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ nói, có thể sẽ “hái ra nhiều quả ngọt” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
