Một nhóm hai nhà toán học đã công bố một chứng minh dài 125 trang trên arXiv, có thể đánh dấu một bước đột phá lớn trong lý thuyết đo hình học, một lĩnh vực toán học đã tồn tại hơn 100 năm. Vấn đề họ đang xem xét có thể ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực như mã hóa, khoa học máy tính và lý thuyết số. Vậy, thật sự thì cần bao nhiêu diện tích để xoay một đoạn thẳng 360 độ?
Hai nhà nghiên cứu này, Hong Wang từ Đại học New York và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia, đã có những tiến bộ đáng kể trong một bài toán không mới, vốn thuộc về lý thuyết đo hình học. Vấn đề này liên quan đến một dạng hình học đặc biệt, được gọi là tập Kakeya, nơi mà các nhà toán học tìm hiểu xem vùng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể xoay vòng 360 độ là bao nhiêu. Có thể các bạn hình dung điều này như một chiếc quay số trong trò chơi board game hay một người biểu diễn vũ đạo bằng baton. Tuy nhiên, thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được "tái sử dụng" bởi nhiều cây kim khác nhau, và vị trí của cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa.
Theo lời Joseph Howlett, một trong những nhà nghiên cứu, việc trượt cây kim theo những cách thông minh sẽ mang lại diện tích nhỏ hơn nhiều so với diện tích của một hình tròn chứa cây kim khi nó xoay. Điều này tạo ra các hình như hình đêltoit, một hình dạng gần giống hình tam giác mà chắc hẳn nhiều bạn đã từng thấy trong đồ chơi vẽ hình Spirograph hồi nhỏ. Các nhà toán học đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng của nó là gì – trong nhiều loại không gian khác nhau.
Cái tên Kakeya được đặt theo người khám phá đầu tiên là Sōichi Kakeya. Vấn đề này trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học sau đó là Abram Samoilovitch Besicovitch, người đã giới thiệu khái niệm rằng một tập Kakeya khi di chuyển vào một số chiều không gian khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào thực sự tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Kết quả là, câu hỏi này – cũng như nhiều câu hỏi khác tương tự – đã tạo ra tảng đá đầu tiên cho việc hình thành lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947, trong khi Besicovitch mất vào năm 1970, do đó, ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh ít nhất 55 năm. Nhưng thực sự, chúng đã bắt đầu từ 100 năm trước, khi cả hai nhà toán học này ở độ tuổi đỉnh cao trong sự nghiệp. Kể từ đó, các nhà toán học đã không ngừng giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau.
Giống như nhiều bước đột phá hiện nay, bí quyết của Wang và Zahl nằm ở việc tái định hình vấn đề rắc rối theo cách suy nghĩ mới. Trong một thông báo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù công trình này dựa trên "các tiến triển gần đây trong lĩnh vực này, nhưng nó kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật ấn tượng". Ví dụ, các tác giả đã tìm thấy một phát biểu về sự giao nhau của các ống, có tính tổng quát hơn dự đoán Kakeya và dễ tiếp cận hơn bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là chứng minh theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những sự thay thế và làm rõ cần thiết cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở đường cho một loại chứng minh gọi là chứng minh theo quy mô. Chứng minh cổ điển theo quy tắc thường liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát thông qua ký hiệu toán học, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, chứ không chỉ 1 và 2.
Chứng minh theo quy mô thì tương tự, nhưng lại liên quan đến việc làm việc với... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ những đường thẳng hay hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định từ một đường, đường cong, hoặc hình dạng nhất định – giống như một cái ốc, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một sự ba chiều nhất định khi áp dụng vào một hình hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về các cây kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal, Terence Tao, đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog của mình, nơi ông cũng gọi công trình này là "tiến bộ ngoạn mục". Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người tiếp tục phát triển từ những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là cách chiseling (điêu khắc) vừa là việc giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm mà công trình có thể được phát triển thêm, giờ đây khi phần này đã hoàn thành.
Zahl tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là ông có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ vẫn thường nói, có thể đang “hẹn hò” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Hai nhà nghiên cứu này, Hong Wang từ Đại học New York và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia, đã có những tiến bộ đáng kể trong một bài toán không mới, vốn thuộc về lý thuyết đo hình học. Vấn đề này liên quan đến một dạng hình học đặc biệt, được gọi là tập Kakeya, nơi mà các nhà toán học tìm hiểu xem vùng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể xoay vòng 360 độ là bao nhiêu. Có thể các bạn hình dung điều này như một chiếc quay số trong trò chơi board game hay một người biểu diễn vũ đạo bằng baton. Tuy nhiên, thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được "tái sử dụng" bởi nhiều cây kim khác nhau, và vị trí của cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa.
Theo lời Joseph Howlett, một trong những nhà nghiên cứu, việc trượt cây kim theo những cách thông minh sẽ mang lại diện tích nhỏ hơn nhiều so với diện tích của một hình tròn chứa cây kim khi nó xoay. Điều này tạo ra các hình như hình đêltoit, một hình dạng gần giống hình tam giác mà chắc hẳn nhiều bạn đã từng thấy trong đồ chơi vẽ hình Spirograph hồi nhỏ. Các nhà toán học đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng của nó là gì – trong nhiều loại không gian khác nhau.
Cái tên Kakeya được đặt theo người khám phá đầu tiên là Sōichi Kakeya. Vấn đề này trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học sau đó là Abram Samoilovitch Besicovitch, người đã giới thiệu khái niệm rằng một tập Kakeya khi di chuyển vào một số chiều không gian khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào thực sự tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Kết quả là, câu hỏi này – cũng như nhiều câu hỏi khác tương tự – đã tạo ra tảng đá đầu tiên cho việc hình thành lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947, trong khi Besicovitch mất vào năm 1970, do đó, ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh ít nhất 55 năm. Nhưng thực sự, chúng đã bắt đầu từ 100 năm trước, khi cả hai nhà toán học này ở độ tuổi đỉnh cao trong sự nghiệp. Kể từ đó, các nhà toán học đã không ngừng giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau.
Giống như nhiều bước đột phá hiện nay, bí quyết của Wang và Zahl nằm ở việc tái định hình vấn đề rắc rối theo cách suy nghĩ mới. Trong một thông báo từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng mặc dù công trình này dựa trên "các tiến triển gần đây trong lĩnh vực này, nhưng nó kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật ấn tượng". Ví dụ, các tác giả đã tìm thấy một phát biểu về sự giao nhau của các ống, có tính tổng quát hơn dự đoán Kakeya và dễ tiếp cận hơn bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là chứng minh theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những sự thay thế và làm rõ cần thiết cho vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở đường cho một loại chứng minh gọi là chứng minh theo quy mô. Chứng minh cổ điển theo quy tắc thường liên quan đến việc chỉ ra mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát thông qua ký hiệu toán học, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, chứ không chỉ 1 và 2.
Chứng minh theo quy mô thì tương tự, nhưng lại liên quan đến việc làm việc với... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ những đường thẳng hay hình dạng cây kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định từ một đường, đường cong, hoặc hình dạng nhất định – giống như một cái ốc, vòng tròn hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một sự ba chiều nhất định khi áp dụng vào một hình hai chiều, biến đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này có thể được điều chỉnh để cho thấy các thuộc tính về các cây kim mà chúng bao quanh.
Nhà toán học đoạt giải Fields Medal, Terence Tao, đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog của mình, nơi ông cũng gọi công trình này là "tiến bộ ngoạn mục". Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người tiếp tục phát triển từ những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là cách chiseling (điêu khắc) vừa là việc giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm mà công trình có thể được phát triển thêm, giờ đây khi phần này đã hoàn thành.
Zahl tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là ông có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ vẫn thường nói, có thể đang “hẹn hò” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
