Trình duyệt của bạn không hỗ trợ phần tử âm thanh.
Hai nhà toán học gần đây đã có những bước tiến đáng kể trong việc giải quyết một bài toán toán học cổ điển. Bài toán này liên quan đến một lĩnh vực con được gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được peer review), khi xem xét các vấn đề từ góc độ hình học, chúng ta có thể khám phá ra những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này vô cùng có giá trị trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học, được gọi là tập Kakeya, đã khiến các nhà toán học băn khoăn về việc diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay tròn hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người biểu diễn quay gậy, vì vậy chiếc kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, sự thật lại phức tạp hơn rất nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi nhiều chiếc kim khác nhau, và các vị trí của kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều],” Joseph Howlette giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêltoit, một hình dạng tam giác có thể khiến bạn nhớ lại đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu của mình. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một chiếc kim quay như một cây gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này thực chất đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể, bất kể hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì, trên nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya—được đặt tên theo người phát hiện Sōichi Kakeya—trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya khi được chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một mục nhất định bằng các điểm mà có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều kích thích đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự—đã tạo ra một chuỗi sự kiện giúp tạo nên lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng nhìn thấy một hình minh họa của một chai Klein (một hình biểu diễn huyền thoại về hình bốn chiều được nhồi trong một phiên bản ba chiều mà bộ não của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài toán tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya mất năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh ít nhất là 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đều ở thời kỳ đỉnh cao trong sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Từ đó, các nhà toán học đã luôn cố gắng để tìm hiểu các loại tập Kakeya trong nhiều loại không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau. Sau cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá hôm nay, bí mật của hai nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—đến từ việc suy nghĩ lại vấn đề hóc búa này theo một cách mới. Trong một thông báo của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, điều này vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được biết đến với tên gọi là quy nạp trên quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay đổi và làm rõ liên quan đến bài toán ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó cho một loại chứng minh được gọi là quy nạp trên quy mô. Chứng minh quy nạp kinh điển bao gồm việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một sự tổng quát bằng cách sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp trên quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc làm việc với... thực ra là... quy mô của một điều gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng—như một cái lò xo, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các chiếc kim mà chúng bao quanh. Người nhận Huy chương Fields, Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài tới 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công việc là “tiến bộ ngoạn mục.” Các chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình bao gồm một phần chạm khắc và một phần giải mã từng chữ cái. Trong bài phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây, phần này đã hoàn thành. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có khả năng sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Huy chương Fields tiếp theo, vốn giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ thường nói, có thể đang “hẹn hò” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
Hai nhà toán học gần đây đã có những bước tiến đáng kể trong việc giải quyết một bài toán toán học cổ điển. Bài toán này liên quan đến một lĩnh vực con được gọi là lý thuyết đo hình học, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được peer review), khi xem xét các vấn đề từ góc độ hình học, chúng ta có thể khám phá ra những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này vô cùng có giá trị trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học, được gọi là tập Kakeya, đã khiến các nhà toán học băn khoăn về việc diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay tròn hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người biểu diễn quay gậy, vì vậy chiếc kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, sự thật lại phức tạp hơn rất nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi nhiều chiếc kim khác nhau, và các vị trí của kim không nhất thiết phải có cùng một điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều],” Joseph Howlette giải thích cho Quanta. Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêltoit, một hình dạng tam giác có thể khiến bạn nhớ lại đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu của mình. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với vòng tròn bao quanh cùng một chiếc kim quay như một cây gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này thực chất đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể, bất kể hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì, trên nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya—được đặt tên theo người phát hiện Sōichi Kakeya—trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya khi được chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một mục nhất định bằng các điểm mà có thể được đưa lại gần nhau đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này—và những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều kích thích đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự—đã tạo ra một chuỗi sự kiện giúp tạo nên lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Nếu bạn đã từng nhìn thấy một hình minh họa của một chai Klein (một hình biểu diễn huyền thoại về hình bốn chiều được nhồi trong một phiên bản ba chiều mà bộ não của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài toán tư duy từ lý thuyết đo hình học. Kakeya mất năm 1947 và Besicovitch qua đời năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này đã mở và chưa được chứng minh ít nhất là 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đều ở thời kỳ đỉnh cao trong sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Từ đó, các nhà toán học đã luôn cố gắng để tìm hiểu các loại tập Kakeya trong nhiều loại không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau. Sau cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường lệ trong những bước đột phá hôm nay, bí mật của hai nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—đến từ việc suy nghĩ lại vấn đề hóc búa này theo một cách mới. Trong một thông báo của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng chú ý.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, điều này vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được biết đến với tên gọi là quy nạp trên quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay đổi và làm rõ liên quan đến bài toán ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó cho một loại chứng minh được gọi là quy nạp trên quy mô. Chứng minh quy nạp kinh điển bao gồm việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một sự tổng quát bằng cách sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp trên quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc làm việc với... thực ra là... quy mô của một điều gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Tất cả chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng—như một cái lò xo, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một số ba chiều khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các chiếc kim mà chúng bao quanh. Người nhận Huy chương Fields, Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài tới 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công việc là “tiến bộ ngoạn mục.” Các chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình bao gồm một phần chạm khắc và một phần giải mã từng chữ cái. Trong bài phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây, phần này đã hoàn thành. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có khả năng sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Huy chương Fields tiếp theo, vốn giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ thường nói, có thể đang “hẹn hò” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Nghe Audio: Bấm vào để nghe
