Hai nhà toán học đã sử dụng một phương pháp hình học mới để giải quyết một vấn đề rất cũ trong đại số. Trong trường học, chúng ta thường học cách khai triển và phân tích các phương trình đa thức như (x² – 1) hay (x² + 2x + 1). Tuy nhiên, trong thực tế, những phương trình này có thể trở nên rất phức tạp. Thực tế là, các nhà toán học thường chỉ xấp xỉ các nghiệm cho những phương trình đa thức có bậc cao hơn một giá trị nhất định, được gọi là đa thức bậc cao.
Tuy nhiên, trong nghiên cứu này, các tác giả cho rằng họ có thể sử dụng một đại lượng từ hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là kết quả tự nhiên quan sát được từ nhiều kịch bản toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc xử lý tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính trong việc lập kế hoạch cấu trúc dữ liệu gọi là cây, cho thấy có bao nhiêu cách sắp xếp cây khác nhau có thể thực hiện trong những thông số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng cho ta biết có bao nhiêu cách để chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Đứng đầu trong công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, một giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau nhiều năm giảng dạy tại trường. Wildberger tự nhận mình là một "kẻ dị giáo" của các nền tảng toán học nhất định, thể hiện một phần qua niềm tin lâu dài rằng chúng ta nên ngừng việc sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực toán học.
Sự phản đối đối với những số vô hạn hay vô tỷ là chìa khóa cho nghiên cứu này. Nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là “không thể” giải được một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào nằm dưới dấu căn (còn gọi là dấu căn bậc hai) được. Nhưng theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào ranh giới này và đắm chìm trong dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên “đi vòng qua” nó hoàn toàn.
Để làm rõ lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc cho Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Trong suốt nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt quá trình tính toán cho một quỹ đầu tư kín, tập trung vào các thuật toán.
Bài báo này có phong cách như một giáo trình, với các tác giả nêu rõ và định nghĩa các thuật ngữ, sau đó xây dựng lập luận của họ một cách tuần tự để tạo thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là mảng “hyper-Catalan”, chứa đựng cả các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn các điều kiện để giải các đa thức. Mảng này được gọi là Geode, bao gồm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi thực hiện các bước dẫn đến và bao gồm mảng Geode, Wildberger còn đưa ra một nhận xét cuối cùng: Công trình này, được viết bởi một biểu tượng đang trong tuổi xế chiều và một giám đốc định lượng lâu năm, có thể gặp khó khăn hơn trong việc được công nhận rộng rãi. Nó cũng được xuất bản trong tạp chí American Mathematical Monthly có tính chất bình duyệt — một tạp chí hấp dẫn của Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo, cung cấp dịch vụ biên tập có trả phí và có tùy chọn cho phép các tác giả trả tiền để làm cho các bài viết của họ có thể truy cập miễn phí. Trong trường hợp này, cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả từ việc chủ đề đơn giản không còn nằm trong tầm nhìn của nhiều người nữa. Nhưng nó cũng hoàn toàn phù hợp với hành trình suốt đời của Wildberger nhằm cắt giảm những điều phức tạp trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho nhiều người nhất có thể.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc tổ chức khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài đăng rằng anh đã theo dõi sát sao công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đã thực hiện một chuỗi bài giảng để dạy những người không chuyên cách thực hiện nghiên cứu toán học,” Rubine cho biết. “Cho vấn đề đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi đã nghĩ đó là một trò đùa, vì tất cả mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể đi xa hơn bậc bốn. Nhưng không, 41 video sau đó, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó ông ấy vẫn chưa viết lại, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, và nó đã trở thành bài báo này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể thực sự là một đối thủ xứng đáng cho chính vô hạn. Cách tiếp cận cởi mở và dân chủ của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Và trong bài báo, ông và Rubine đã chỉ ra một số câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu có ai trong cộng đồng toán học sẽ nắm bắt những câu hỏi này hay không. Cá nhân mình rất hy vọng điều đó, bởi vì 41 video nữa thì thật lâu để chờ đợi một bước đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
Tuy nhiên, trong nghiên cứu này, các tác giả cho rằng họ có thể sử dụng một đại lượng từ hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là kết quả tự nhiên quan sát được từ nhiều kịch bản toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc xử lý tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính trong việc lập kế hoạch cấu trúc dữ liệu gọi là cây, cho thấy có bao nhiêu cách sắp xếp cây khác nhau có thể thực hiện trong những thông số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng cho ta biết có bao nhiêu cách để chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Đứng đầu trong công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, một giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau nhiều năm giảng dạy tại trường. Wildberger tự nhận mình là một "kẻ dị giáo" của các nền tảng toán học nhất định, thể hiện một phần qua niềm tin lâu dài rằng chúng ta nên ngừng việc sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực toán học.
Sự phản đối đối với những số vô hạn hay vô tỷ là chìa khóa cho nghiên cứu này. Nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là “không thể” giải được một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào nằm dưới dấu căn (còn gọi là dấu căn bậc hai) được. Nhưng theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào ranh giới này và đắm chìm trong dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên “đi vòng qua” nó hoàn toàn.
Để làm rõ lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc cho Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Trong suốt nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt quá trình tính toán cho một quỹ đầu tư kín, tập trung vào các thuật toán.
Bài báo này có phong cách như một giáo trình, với các tác giả nêu rõ và định nghĩa các thuật ngữ, sau đó xây dựng lập luận của họ một cách tuần tự để tạo thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là mảng “hyper-Catalan”, chứa đựng cả các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn các điều kiện để giải các đa thức. Mảng này được gọi là Geode, bao gồm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi thực hiện các bước dẫn đến và bao gồm mảng Geode, Wildberger còn đưa ra một nhận xét cuối cùng: Công trình này, được viết bởi một biểu tượng đang trong tuổi xế chiều và một giám đốc định lượng lâu năm, có thể gặp khó khăn hơn trong việc được công nhận rộng rãi. Nó cũng được xuất bản trong tạp chí American Mathematical Monthly có tính chất bình duyệt — một tạp chí hấp dẫn của Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo, cung cấp dịch vụ biên tập có trả phí và có tùy chọn cho phép các tác giả trả tiền để làm cho các bài viết của họ có thể truy cập miễn phí. Trong trường hợp này, cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả từ việc chủ đề đơn giản không còn nằm trong tầm nhìn của nhiều người nữa. Nhưng nó cũng hoàn toàn phù hợp với hành trình suốt đời của Wildberger nhằm cắt giảm những điều phức tạp trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho nhiều người nhất có thể.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc tổ chức khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài đăng rằng anh đã theo dõi sát sao công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đã thực hiện một chuỗi bài giảng để dạy những người không chuyên cách thực hiện nghiên cứu toán học,” Rubine cho biết. “Cho vấn đề đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi đã nghĩ đó là một trò đùa, vì tất cả mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể đi xa hơn bậc bốn. Nhưng không, 41 video sau đó, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó ông ấy vẫn chưa viết lại, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, và nó đã trở thành bài báo này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể thực sự là một đối thủ xứng đáng cho chính vô hạn. Cách tiếp cận cởi mở và dân chủ của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Và trong bài báo, ông và Rubine đã chỉ ra một số câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu có ai trong cộng đồng toán học sẽ nắm bắt những câu hỏi này hay không. Cá nhân mình rất hy vọng điều đó, bởi vì 41 video nữa thì thật lâu để chờ đợi một bước đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
