Gần đây, hai nhà toán học đã áp dụng một phương pháp hình học mới để giải quyết một bài toán cổ xưa trong đại số. Trong trường học, nhiều bạn sẽ được học cách nhân và phân tích các phương trình đa thức như (x² – 1) hoặc (x² + 2x + 1). Thế nhưng, trong thực tế, những phương trình này có thể trở nên phức tạp rất nhanh. Thực tế là, các nhà toán học thường chỉ tìm ra nghiệm gần đúng cho những phương trình có bậc cao hơn, được gọi là đa thức bậc cao.
Tuy nhiên, trong bài viết này, các tác giả đưa ra giả thuyết cho rằng họ có thể sử dụng một thước đo từ hình học, được gọi là số Catalan, để tìm ra các nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là một kết quả tự nhiên khi quan sát nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc phân tích tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Những con số này giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra số cách sắp xếp cây khác nhau có thể được tạo ra trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, nó cũng cho biết có bao nhiêu cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Lãnh đạo của công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, một giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau gần 30 năm giảng dạy tại đây. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” của một số nền tảng toán học, thể hiện qua niềm tin lâu dài rằng chúng ta nên ngừng sử dụng khái niệm vô cực trong một số lĩnh vực của toán học.
Điều này liên quan mật thiết đến nghiên cứu của ông. Trong nhiều năm qua, các nhà nghiên cứu đại số đã biết rằng một số đa thức nhất định không thể giải được. Chúng không thể được tách thành một thuật ngữ toán học nằm dưới dấu căn (hay còn gọi là dấu gốc). Tuy nhiên, theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào điều này và chờ đợi bên trong dấu căn là một trở ngại. Ông cho rằng chúng ta nên “bỏ qua” nó.
Để hỗ trợ cho lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã từng làm việc cho Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon, cũng như đã dẫn dắt việc xử lý dữ liệu tại một quỹ đầu tư bí mật tập trung vào các thuật toán. Bài viết của họ mang tính chất giáo dục, giống như một chương của một cuốn sách giáo khoa tốt, với việc các tác giả định nghĩa từng thuật ngữ và xây dựng các lập luận một cách rõ ràng. Kết quả là một mảng được gọi là ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn điều kiện để giải các đa thức. Đáng nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không nhất thiết phải phù hợp với các ứng dụng khác của số Catalan; thay vào đó, chúng là một cơ sở để bắt đầu xây dựng một tập hợp độc đáo nhằm giải quyết vấn đề đa thức.
Sau khi trình bày công trình dẫn đến mảng Geode, Wildberger nhấn mạnh rằng công trình này của họ có thể sẽ gặp khó khăn trong việc được công nhận rộng rãi. Bài viết được đăng trên tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có uy tín liên quan đến Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo và cung cấp dịch vụ biên tập có phí, cùng với tùy chọn cho phép tác giả trả tiền để công bố bài viết dưới dạng mở - thường tốn vài nghìn USD hoặc hơn. Sự tiếp cận không chính thống này có thể xuất phát từ việc chủ đề này không còn được quan tâm nhiều trong cộng đồng hiện tại, nhưng cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger nhằm đơn giản hóa các ý tưởng toán học và làm cho chúng dễ hiểu với càng nhiều người càng tốt.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News, Rubine chia sẻ rằng ông đã theo dõi công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger công bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. Ông đã làm một loạt video hướng dẫn các “nghiên cứu sinh” cách thực hiện nghiên cứu toán học. “Tôi nghĩ rằng đó là một trò đùa, vì mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết ra, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, và cuối cùng đã phát triển thành bài báo này.”
Với sự quyết tâm như vậy, có lẽ Wildberger thực sự là một đối thủ xứng tầm với vô cực. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông với tư duy toán học rất đáng khâm phục. Trong bài viết, ông và Rubine đã chỉ ra một số câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta hãy cùng chờ xem liệu cộng đồng toán học có đón nhận những câu hỏi này hay không. Bản thân tôi rất hy vọng như vậy, bởi vì chờ đợi 41 video tiếp theo để tìm ra đột phá mới là một khoảng thời gian thật dài.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
Tuy nhiên, trong bài viết này, các tác giả đưa ra giả thuyết cho rằng họ có thể sử dụng một thước đo từ hình học, được gọi là số Catalan, để tìm ra các nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là một kết quả tự nhiên khi quan sát nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc phân tích tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Những con số này giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra số cách sắp xếp cây khác nhau có thể được tạo ra trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, nó cũng cho biết có bao nhiêu cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Lãnh đạo của công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, một giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau gần 30 năm giảng dạy tại đây. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” của một số nền tảng toán học, thể hiện qua niềm tin lâu dài rằng chúng ta nên ngừng sử dụng khái niệm vô cực trong một số lĩnh vực của toán học.
Điều này liên quan mật thiết đến nghiên cứu của ông. Trong nhiều năm qua, các nhà nghiên cứu đại số đã biết rằng một số đa thức nhất định không thể giải được. Chúng không thể được tách thành một thuật ngữ toán học nằm dưới dấu căn (hay còn gọi là dấu gốc). Tuy nhiên, theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào điều này và chờ đợi bên trong dấu căn là một trở ngại. Ông cho rằng chúng ta nên “bỏ qua” nó.
Để hỗ trợ cho lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã từng làm việc cho Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon, cũng như đã dẫn dắt việc xử lý dữ liệu tại một quỹ đầu tư bí mật tập trung vào các thuật toán. Bài viết của họ mang tính chất giáo dục, giống như một chương của một cuốn sách giáo khoa tốt, với việc các tác giả định nghĩa từng thuật ngữ và xây dựng các lập luận một cách rõ ràng. Kết quả là một mảng được gọi là ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một phần mở rộng bao gồm các số khác thỏa mãn điều kiện để giải các đa thức. Đáng nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không nhất thiết phải phù hợp với các ứng dụng khác của số Catalan; thay vào đó, chúng là một cơ sở để bắt đầu xây dựng một tập hợp độc đáo nhằm giải quyết vấn đề đa thức.
Sau khi trình bày công trình dẫn đến mảng Geode, Wildberger nhấn mạnh rằng công trình này của họ có thể sẽ gặp khó khăn trong việc được công nhận rộng rãi. Bài viết được đăng trên tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có uy tín liên quan đến Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo và cung cấp dịch vụ biên tập có phí, cùng với tùy chọn cho phép tác giả trả tiền để công bố bài viết dưới dạng mở - thường tốn vài nghìn USD hoặc hơn. Sự tiếp cận không chính thống này có thể xuất phát từ việc chủ đề này không còn được quan tâm nhiều trong cộng đồng hiện tại, nhưng cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger nhằm đơn giản hóa các ý tưởng toán học và làm cho chúng dễ hiểu với càng nhiều người càng tốt.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News, Rubine chia sẻ rằng ông đã theo dõi công việc của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger công bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. Ông đã làm một loạt video hướng dẫn các “nghiên cứu sinh” cách thực hiện nghiên cứu toán học. “Tôi nghĩ rằng đó là một trò đùa, vì mọi người đều ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết ra, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, và cuối cùng đã phát triển thành bài báo này.”
Với sự quyết tâm như vậy, có lẽ Wildberger thực sự là một đối thủ xứng tầm với vô cực. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông với tư duy toán học rất đáng khâm phục. Trong bài viết, ông và Rubine đã chỉ ra một số câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta hãy cùng chờ xem liệu cộng đồng toán học có đón nhận những câu hỏi này hay không. Bản thân tôi rất hy vọng như vậy, bởi vì chờ đợi 41 video tiếp theo để tìm ra đột phá mới là một khoảng thời gian thật dài.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
