Your browser does not support the audio element.
Hai nhà toán học gần đây đã công bố những tiến triển mới về một bài toán lâu đời trong lĩnh vực toán học. Vấn đề này thuộc một nhánh có tên gọi là lý thuyết đo hình học, nơi mà các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa qua kiểm duyệt đồng nghiệp), việc xem xét sự vật dưới lăng kính hình học có thể hé mở những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này vô cùng có giá trị trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học liên quan đến khái niệm gọi là tập Kakeya. Các nhà toán học đã tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất có thể là bao nhiêu để một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung như một con quay trong một trò chơi nối tiếp hoặc một người vung gậy, nơi mà cây kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng “nếu bạn di chuyển nó một cách khéo léo, bạn có thể làm được nhiều hơn thế.” Điều này tạo ra các hình dạng như hình đêltoit - một hình dạng hơi giống tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn chứa một cây kim xoay như một cây baton.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này về cơ bản đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể - bất kể hình dạng cuối cùng sẽ ra sao - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên nhà toán học Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra khái niệm rằng một tập Kakeya di chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng bằng các điểm có thể gần nhau hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có cơ sở trong toán học. Vì vậy, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều gây cám dỗ đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự - đã khiến một chuỗi domino đổ xuống, từ đó giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã từng thấy hình minh họa một cái chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi nhét vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy đến từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã tồn tại và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Tuy nhiên, chúng thực sự có từ hơn 100 năm trước, khi cả hai nhà toán học này đang ở đỉnh cao sự nghiệp của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đương đầu với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường lệ trong các đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - chính là việc định hình lại vấn đề khó khăn này bằng cách tư duy đồng chiều. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về các giao điểm của ống (tube) mà tổng quát hơn so với giả thuyết Kakeya và dễ hơn để xử lý với một cách tiếp cận mạnh mẽ gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thay thế và làm rõ các vấn đề chính trong bài toán ban đầu, Wang và Zahl đã mở ra một kiểu chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một khái quát sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... đúng, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xét đến các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hay hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường, đường cong hoặc hình dạng cho trước - giống như một cái vặn, vòng tròn hoặc nút. Điều đó có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh nhằm chỉ ra các thuộc tính về các cây kim mà chúng bao quanh.
Người chiến thắng Huy chương Fields Terence Tao (một nhà toán học nổi tiếng trong lĩnh vực liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ nổi bật.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người cải tiến các phần nhỏ trên cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số chỗ mà công việc có thể được cải thiện thêm, giờ đây khi phần này đã được thiết lập.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, điều này có nghĩa là anh ấy có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như cách mà những người trẻ thường nói, có thể “đang nở hoa” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Hai nhà toán học gần đây đã công bố những tiến triển mới về một bài toán lâu đời trong lĩnh vực toán học. Vấn đề này thuộc một nhánh có tên gọi là lý thuyết đo hình học, nơi mà các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tinh vi thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa qua kiểm duyệt đồng nghiệp), việc xem xét sự vật dưới lăng kính hình học có thể hé mở những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này vô cùng có giá trị trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Một câu hỏi đặc biệt trong hình học liên quan đến khái niệm gọi là tập Kakeya. Các nhà toán học đã tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất có thể là bao nhiêu để một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung như một con quay trong một trò chơi nối tiếp hoặc một người vung gậy, nơi mà cây kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của các kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng “nếu bạn di chuyển nó một cách khéo léo, bạn có thể làm được nhiều hơn thế.” Điều này tạo ra các hình dạng như hình đêltoit - một hình dạng hơi giống tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến đồ chơi vẽ Spirograph thời thơ ấu. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn chứa một cây kim xoay như một cây baton.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này về cơ bản đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể - bất kể hình dạng cuối cùng sẽ ra sao - trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên nhà toán học Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn nhờ một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã đưa ra khái niệm rằng một tập Kakeya di chuyển vào nhiều chiều khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng bằng các điểm có thể gần nhau hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có cơ sở trong toán học. Vì vậy, câu hỏi này - và những câu hỏi tương tự khác, tất cả đều gây cám dỗ đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự - đã khiến một chuỗi domino đổ xuống, từ đó giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn đã từng thấy hình minh họa một cái chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi nhét vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu được), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy đến từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã tồn tại và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Tuy nhiên, chúng thực sự có từ hơn 100 năm trước, khi cả hai nhà toán học này đang ở đỉnh cao sự nghiệp của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã phải đương đầu với nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau và với nhiều thuộc tính khác nhau. Dù sao thì, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường lệ trong các đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này - Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) - chính là việc định hình lại vấn đề khó khăn này bằng cách tư duy đồng chiều. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về các giao điểm của ống (tube) mà tổng quát hơn so với giả thuyết Kakeya và dễ hơn để xử lý với một cách tiếp cận mạnh mẽ gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thay thế và làm rõ các vấn đề chính trong bài toán ban đầu, Wang và Zahl đã mở ra một kiểu chứng minh được gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, một giá trị 1 và một giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một khái quát sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... đúng, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xét đến các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hay hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể từ một đường, đường cong hoặc hình dạng cho trước - giống như một cái vặn, vòng tròn hoặc nút. Điều đó có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một cái ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh nhằm chỉ ra các thuộc tính về các cây kim mà chúng bao quanh.
Người chiến thắng Huy chương Fields Terence Tao (một nhà toán học nổi tiếng trong lĩnh vực liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ nổi bật.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người cải tiến các phần nhỏ trên cùng một vấn đề - một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra một số chỗ mà công việc có thể được cải thiện thêm, giờ đây khi phần này đã được thiết lập.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, điều này có nghĩa là anh ấy có thể sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như cách mà những người trẻ thường nói, có thể “đang nở hoa” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
