Hai nhà toán học hiện đang thông báo về những tiến bộ đáng chú ý trong một vấn đề toán học chưa được giải quyết từ rất lâu. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực gọi là lý thuyết đo lường hình học, nơi các tập hợp các đối tượng được tổng quát hóa theo cách tinh vi hơn thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của hai nhà toán học này (chưa được đánh giá bởi các đồng nghiệp), việc xem xét các yếu tố thông qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng này có thể chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học đang ngày càng liên kết nhiều phân ngành khác nhau.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học mang tên tập Kakeya, các nhà toán học muốn biết diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cái kim, có thể quay qua 360 độ. Bạn có thể hình dung như một chiếc spinner trong một trò chơi board game hoặc một người múa gậy, vì vậy, cái kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn rất nhiều, bởi không gian có thể được tái sử dụng nhằm mục đích khác nhau bởi các cái kim khác nhau, và vị trí của các cái kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette giải thích cho Quanta rằng, “nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một dạng hình tứ giác gần giống hình tam giác có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn mà bao bọc cùng một cái kim quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này chủ yếu đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó cuối cùng là gì—trong nhiều kiểu không gian khác nhau. Tập Kakeya—được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya—được phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu khái niệm rằng một tập Kakeya ở nhiều chiều không gian khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng các điểm mà có thể được đưa lại gần nhau đến mức hầu như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có một nền tảng toán học. Kết quả là, câu hỏi này—cũng như nhiều câu hỏi tương tự đều quyến rũ những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự—đã đánh đổ một chuỗi domino dẫn đến việc tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một minh họa của bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã luôn tìm cách giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với những thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Giống như thường lệ trong các bước đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là việc tái định hình bài toán rắc rối này thông qua tư duy sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl từ UBC, Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nghiên cứu này dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, lời giải này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng chú ý”. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về giao điểm của ống hẹp mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó tới một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Quy nạp chứng minh cổ điển liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn như giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể chuyển đổi những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát sử dụng ký hiệu toán học, chẳng hạn như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, chứ không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, quy mô của một thứ gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó—như một chiếc kẹo, vòng tròn, hay nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cái kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields, Terence Tao (một người nổi tiếng trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người tiếp tục làm việc trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi chú một số nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, ngay cả khi phần này đã hoàn thành.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có thể ông sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields tiếp theo, chỉ dành cho những nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Về mặt toán học, như một số bạn trẻ vẫn nói, có thể “có điều gì đó điển hình” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học mang tên tập Kakeya, các nhà toán học muốn biết diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cái kim, có thể quay qua 360 độ. Bạn có thể hình dung như một chiếc spinner trong một trò chơi board game hoặc một người múa gậy, vì vậy, cái kim xoay phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn rất nhiều, bởi không gian có thể được tái sử dụng nhằm mục đích khác nhau bởi các cái kim khác nhau, và vị trí của các cái kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette giải thích cho Quanta rằng, “nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình deltoid, một dạng hình tứ giác gần giống hình tam giác có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph hồi nhỏ. Hình deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với vòng tròn mà bao bọc cùng một cái kim quay như một cái gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này chủ yếu đang cố gắng tìm ra hình deltoid nhỏ nhất có thể—dù hình dạng đó cuối cùng là gì—trong nhiều kiểu không gian khác nhau. Tập Kakeya—được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya—được phức tạp hơn bởi một nhà toán học khác tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu khái niệm rằng một tập Kakeya ở nhiều chiều không gian khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể cụ thể bằng các điểm mà có thể được đưa lại gần nhau đến mức hầu như biến mất, với một ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có một nền tảng toán học. Kết quả là, câu hỏi này—cũng như nhiều câu hỏi tương tự đều quyến rũ những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự—đã đánh đổ một chuỗi domino dẫn đến việc tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một minh họa của bình Klein (một hình ảnh biểu tượng của hình dạng bốn chiều được nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ não con người chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học của họ... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã luôn tìm cách giải quyết các loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với những thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Giống như thường lệ trong các bước đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này—Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC)—là việc tái định hình bài toán rắc rối này thông qua tư duy sáng tạo. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl từ UBC, Pablo Shmerkin giải thích rằng trong khi nghiên cứu này dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, lời giải này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng chú ý”. Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về giao điểm của ống hẹp mà vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng giải quyết hơn với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ các vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó tới một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Quy nạp chứng minh cổ điển liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn như giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể chuyển đổi những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát sử dụng ký hiệu toán học, chẳng hạn như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, chứ không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, quy mô của một thứ gì đó.
Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng hay hình kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó—như một chiếc kẹo, vòng tròn, hay nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số ba chiều riêng của nó khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của các ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cái kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields, Terence Tao (một người nổi tiếng trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua hàng thập kỷ khi mọi người tiếp tục làm việc trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi chú một số nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, ngay cả khi phần này đã hoàn thành.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có thể ông sinh năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields tiếp theo, chỉ dành cho những nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Về mặt toán học, như một số bạn trẻ vẫn nói, có thể “có điều gì đó điển hình” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
