Hai nhà toán học gần đây đã công bố những bước tiến trong một vấn đề toán học rất cổ xưa, liên quan đến một lĩnh vực con mang tên lý thuyết đo lường hình học. Trong lĩnh vực này, các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách nâng cao, sử dụng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Nghiên cứu mới của họ (vẫn chưa qua kiểm duyệt đồng nghiệp) cho thấy việc quan sát sự vật qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những đặc tính thú vị khác mà các đối tượng chia sẻ, điều này vô cùng giá trị trong bối cảnh ngày càng nhiều ngành khoa học liên kết với nhau trong toán học.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là “kim”, có thể quay hoàn toàn 360 độ sẽ là bao nhiêu. Bạn có thể tưởng tượng điều này như một chiếc quay trong trò chơi board game hoặc một người biểu diễn xoay baton, nơi mà kim được quay để hình thành một vòng tròn. Tuy nhiên, thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng cho các đường kim khác nhau và các vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích với Quanta rằng “nếu bạn di chuyển theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều”. Điều này tạo ra các hình dạng như hình đêltoid, một hình tương tự như tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph thời thơ ấu của mình. Hình đêltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh cùng một kim quay như một người biểu diễn.
Các nhà toán học đang nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình đêltoid nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì – trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng các điểm có thể gần lại cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này – và những câu hỏi tương tự như nó, tất cả đều hấp dẫn đối với những người đã dấn thân vào những khái niệm tương tự – đã khiến một chuỗi sự kiện xảy ra, cuối cùng giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa về bình Klein (một hình ảnh biểu tượng cho một hình dạng bốn chiều bị nhét vào một phiên bản ba chiều mà não bộ của chúng ta có thể xử lý), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc cách đây 100 năm, khi cả hai người đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học. Kể từ đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với các thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường lệ trong các bước đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – chính là việc tái cấu trúc vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo chiều ngang. Trong một thông báo từ NYU, Pablo Shmerkin, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, giải thích rằng trong khi điều này dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới với kỹ năng kỹ thuật ấn tượng”. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ hơn để giải quyết với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là “quy nạp theo quy mô”.
Bằng cách thực hiện các phép thế và làm rõ những điểm chính trong vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó để trở thành một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp có thể áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, đúng rồi, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường, đường cong, hoặc hình dạng nhất định – như một cái khuôn, một vòng tròn, hay một nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một sự ba chiều nhất định khi được áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống này sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “một bước tiến ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện xuyên suốt hàng thập kỷ khi mọi người tiếp tục làm việc trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm mà công việc này có thể tiếp tục được phát triển, giờ đây khi phần này đã được thực hiện. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng huy chương Fields tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như trẻ nhỏ thường nói, có thể đang “khớp” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là “kim”, có thể quay hoàn toàn 360 độ sẽ là bao nhiêu. Bạn có thể tưởng tượng điều này như một chiếc quay trong trò chơi board game hoặc một người biểu diễn xoay baton, nơi mà kim được quay để hình thành một vòng tròn. Tuy nhiên, thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng cho các đường kim khác nhau và các vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích với Quanta rằng “nếu bạn di chuyển theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn nhiều”. Điều này tạo ra các hình dạng như hình đêltoid, một hình tương tự như tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi Spirograph thời thơ ấu của mình. Hình đêltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh cùng một kim quay như một người biểu diễn.
Các nhà toán học đang nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm ra hình đêltoid nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì – trong nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya, được đặt theo tên người phát hiện ra nó là Sōichi Kakeya, đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau này tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng cụ thể bằng các điểm có thể gần lại cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không có diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này – và những câu hỏi tương tự như nó, tất cả đều hấp dẫn đối với những người đã dấn thân vào những khái niệm tương tự – đã khiến một chuỗi sự kiện xảy ra, cuối cùng giúp tạo ra lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học.
Nếu bạn đã từng thấy một hình minh họa về bình Klein (một hình ảnh biểu tượng cho một hình dạng bốn chiều bị nhét vào một phiên bản ba chiều mà não bộ của chúng ta có thể xử lý), đó là một ví dụ về một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có nguồn gốc cách đây 100 năm, khi cả hai người đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học. Kể từ đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều loại tập Kakeya trong nhiều không gian khác nhau và với các thuộc tính khác nhau. Cuối cùng, không có giới hạn cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường lệ trong các bước đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – chính là việc tái cấu trúc vấn đề hóc búa này bằng cách tư duy theo chiều ngang. Trong một thông báo từ NYU, Pablo Shmerkin, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, giải thích rằng trong khi điều này dựa trên “những tiến bộ gần đây trong lĩnh vực, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới với kỹ năng kỹ thuật ấn tượng”. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ hơn để giải quyết với một phương pháp mạnh mẽ được gọi là “quy nạp theo quy mô”.
Bằng cách thực hiện các phép thế và làm rõ những điểm chính trong vấn đề ban đầu, Wang và Zahl đã mở rộng nó để trở thành một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học sao cho một giải pháp có thể áp dụng cho tất cả các giá trị có thể cho n, không chỉ 1 và 2. Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... à, đúng rồi, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường, đường cong, hoặc hình dạng nhất định – như một cái khuôn, một vòng tròn, hay một nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một sự ba chiều nhất định khi được áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống này sau đó có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt huy chương Fields Terence Tao (một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết blog chi tiết, nơi ông cũng gọi công trình này là “một bước tiến ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như vậy thường xuất hiện xuyên suốt hàng thập kỷ khi mọi người tiếp tục làm việc trên những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là chạm khắc vừa là giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều điểm mà công việc này có thể tiếp tục được phát triển, giờ đây khi phần này đã được thực hiện. Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng huy chương Fields tiếp theo, chỉ dành cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như trẻ nhỏ thường nói, có thể đang “khớp” cho hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
