Hai nhà toán học hiện nay đang cho thấy họ đã có những bước tiến trong một bài toán cổ xưa chưa được giải quyết. Vấn đề này liên quan đến một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo lường hình học, nơi mà các tập hợp vật thể được tổng quát hóa theo cách tiên tiến bằng các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được kiểm duyệt), việc xem xét các vấn đề dưới góc nhìn hình học có thể tiết lộ những đặc điểm thú vị khác mà các vật thể có thể chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người quay gậy, vì vậy kim quay phải chỉ tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các kim khác nhau, và các vị trí của kim không cần phải có cùng điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howllette giải thích cho Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như deltoid, một hình dạng gần giống tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ Spirograph ngày xưa. Deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh kim quay giống như một cái gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này chủ yếu đang cố gắng tìm ra deltoid nhỏ nhất có thể—dù cho hình dạng đó cuối cùng ra sao—trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya—được đặt theo tên người phát hiện ra nó, Sōichi Kakeya—đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào các chiều không gian khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau hơn cho đến khi gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không gian đó không tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này—và các câu hỏi tương tự khác, tất cả đều hấp dẫn với những người đã đắm mình trong các khái niệm tương tự—đã tạo ra một chuỗi domino dẫn đến việc hình thành lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học. Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của một chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ óc con người có thể hiểu), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học.
Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang trong độ tuổi đỉnh cao của sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã gặp phải nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu các kiểu tập Kakeya trong nhiều không gian và với nhiều thuộc tính khác nhau. Rốt cuộc, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường lệ trong những đột phá ngày nay, bí quyết cho các nhà toán học này—Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC)—là trong việc định hình lại vấn đề rắc rối này bằng cách suy nghĩ sáng tạo. Trong một thông báo của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về giao điểm của ống mà cả hai đều tổng quát hơn dự đoán của Kakeya và dễ dàng tiếp cận hơn với một phương pháp mạnh mẽ gọi là quy nạp theo quy mô.”
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ chính vấn đề, Wang và Zahl đã mở đường cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Quy trình chứng minh cổ điển theo quy nạp liên quan đến việc cho thấy một mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể chuyển những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải bài toán sao cho giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ là 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... đúng như vậy... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ những đường thẳng hoặc hình dạng kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách cụ thể và vị trí cách xa một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng nhất định—như một cái xoáy ốc, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một tính chất ba chiều riêng khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó có thể được điều chỉnh để cho thấy những thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields, Terence Tao (chính anh là một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết chi tiết trên blog của mình, nơi ông cũng cho rằng công việc này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện trong suốt nhiều thập kỷ khi mọi người lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình gồm một phần khắc phục và một phần giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận những điểm mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã hoàn tất.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang nói rằng cô sinh năm 1991. Giải Huy chương Fields tiếp theo, hạn chế cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Có lẽ, như các bạn trẻ vẫn nói, toán học có thể đang “trưởng thành” với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học tự hỏi rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Bạn có thể hình dung điều này giống như một cái quay trong trò chơi board game hoặc một người quay gậy, vì vậy kim quay phải chỉ tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được sử dụng lại bởi các kim khác nhau, và các vị trí của kim không cần phải có cùng điểm giữa. “[Nếu bạn di chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể làm tốt hơn nhiều,” Joseph Howllette giải thích cho Quanta.
Điều này tạo ra những hình dạng như deltoid, một hình dạng gần giống tam giác mà có thể khiến bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ Spirograph ngày xưa. Deltoid có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh kim quay giống như một cái gậy. Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này chủ yếu đang cố gắng tìm ra deltoid nhỏ nhất có thể—dù cho hình dạng đó cuối cùng ra sao—trong nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya—được đặt theo tên người phát hiện ra nó, Sōichi Kakeya—đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác tên là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya di chuyển vào các chiều không gian khác nhau có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể được đưa lại gần nhau hơn cho đến khi gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không gian đó không tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng toán học. Do đó, câu hỏi này—và các câu hỏi tương tự khác, tất cả đều hấp dẫn với những người đã đắm mình trong các khái niệm tương tự—đã tạo ra một chuỗi domino dẫn đến việc hình thành lĩnh vực lý thuyết đo lường hình học. Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của một chai Klein (một hình ảnh biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi vào một phiên bản ba chiều mà bộ óc con người có thể hiểu), đó là một ví dụ của một bài tập tư duy từ lý thuyết đo lường hình học.
Kakeya đã qua đời vào năm 1947 và Besicovitch vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của những câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang trong độ tuổi đỉnh cao của sự nghiệp toán học... có thể nói như vậy. Kể từ đó, các nhà toán học đã gặp phải nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu các kiểu tập Kakeya trong nhiều không gian và với nhiều thuộc tính khác nhau. Rốt cuộc, không có giới hạn nào cho số chiều mà một vật thể có thể có.
Như thường lệ trong những đột phá ngày nay, bí quyết cho các nhà toán học này—Hong Wang của Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl của Đại học British Columbia (UBC)—là trong việc định hình lại vấn đề rắc rối này bằng cách suy nghĩ sáng tạo. Trong một thông báo của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, đã giải thích rằng mặc dù nó xây dựng trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, nhưng giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới cùng với sự tinh thông kỹ thuật đáng kể. Ví dụ, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về giao điểm của ống mà cả hai đều tổng quát hơn dự đoán của Kakeya và dễ dàng tiếp cận hơn với một phương pháp mạnh mẽ gọi là quy nạp theo quy mô.”
Bằng cách thực hiện các thay thế và làm rõ chính vấn đề, Wang và Zahl đã mở đường cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Quy trình chứng minh cổ điển theo quy nạp liên quan đến việc cho thấy một mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể chuyển những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát sử dụng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), thì bạn có thể đơn giản hóa và giải bài toán sao cho giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ là 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... đúng như vậy... quy mô của một thứ gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ những đường thẳng hoặc hình dạng kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách cụ thể và vị trí cách xa một đường thẳng, đường cong hoặc hình dạng nhất định—như một cái xoáy ốc, vòng tròn hoặc nút. Điều này có nghĩa là nó có một tính chất ba chiều riêng khi áp dụng cho một hình dạng hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó có thể được điều chỉnh để cho thấy những thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields, Terence Tao (chính anh là một nhân vật nổi bật trong toán học liên quan), đã phân tích chứng minh dài 125 trang (!!) này trong một bài viết chi tiết trên blog của mình, nơi ông cũng cho rằng công việc này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện trong suốt nhiều thập kỷ khi mọi người lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề—một quá trình gồm một phần khắc phục và một phần giải mã từng chữ cái một. Trong phân tích của mình, Tao đã ghi nhận những điểm mà công việc có thể được lặp lại một lần nữa, giờ đây khi phần này đã hoàn tất.
Zahl đã nhận bằng cử nhân vào năm 2008, nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang nói rằng cô sinh năm 1991. Giải Huy chương Fields tiếp theo, hạn chế cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Có lẽ, như các bạn trẻ vẫn nói, toán học có thể đang “trưởng thành” với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
