Gần đây, hai nhà toán học đã công bố những tiến bộ trong một bài toán chưa được giải quyết từ lâu, thuộc lĩnh vực lý thuyết đo hình học. Đây là một lĩnh vực sâu sắc, trong đó các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách tiên tiến thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu mới nhất của họ (vẫn chưa được bình duyệt), việc xem xét sự vật qua lăng kính hình học có thể giúp phát hiện những đặc điểm thú vị khác mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này có giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên kết các phân ngành.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Có thể hình dung điều này giống như một con quay trong trò chơi bàn hoặc một vận động viên tung gậy, nơi cây kim phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta rằng nếu bạn dịch chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể đạt được kết quả tốt hơn rất nhiều.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêl-tô, một hình gần giống tam giác mà có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ hình Spirograph ngày xưa. Hình đêl-tô có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn bao quanh cây kim xoay như một vận động viên tung gậy. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm hình đêl-tô nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng đó cuối cùng là gì – qua nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya – được đặt theo tên phát hiện của Sōichi Kakeya – đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau đó là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển động vào một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể lại gần nhau hơn đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không gian đó hoàn toàn không tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan này mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này – và những câu hỏi khác tương tự – đã lập thành một chuỗi domino, dẫn đến sự hình thành của lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã xuất hiện từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học… theo cách nói nào đó. Kể từ đó, các nhà toán học đã gặp khó khăn với nhiều loại tập Kakeya trong những không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Dù sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường thấy trong những đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – chính là việc xem xét lại vấn đề hóc búa này thông qua cách suy nghĩ khác. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng dựa trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều cái nhìn mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Chẳng hạn, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về các giao điểm của ống mà vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ dàng hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được biết đến là quy nạp theo quy mô.
Thông qua việc thực hiện những thay đổi và làm rõ các điểm quan trọng trong vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp thường liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến các giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để mà một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với… vâng… quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ là các đường thẳng hoặc hình dạng cây kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó – như một ống xoắn, hình tròn, hoặc nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số chiều ba khi áp dụng cho một hình hai chiều, chuyển đổi một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Giải thưởng Fields Medal – một sự ghi nhận cao quý trong giới toán học – Terence Tao, một người vĩ đại trong lĩnh vực toán học liên quan, đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề – quá trình này vừa là một phần điêu khắc vừa là một phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều chỗ mà công việc có thể tiếp tục được lặp lại, giờ đây khi phần này đã được hoàn thiện.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Vấn đề toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “thăng hoa” đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học gọi là tập Kakeya, các nhà toán học thắc mắc rằng diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay một cây kim, có thể quay hoàn toàn 360 độ là bao nhiêu. Có thể hình dung điều này giống như một con quay trong trò chơi bàn hoặc một vận động viên tung gậy, nơi cây kim phải tạo thành một vòng tròn. Nhưng thực tế lại phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các cây kim khác nhau, và vị trí của cây kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howlett đã giải thích cho Quanta rằng nếu bạn dịch chuyển nó theo những cách thông minh, bạn có thể đạt được kết quả tốt hơn rất nhiều.
Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêl-tô, một hình gần giống tam giác mà có thể làm bạn nhớ đến món đồ chơi vẽ hình Spirograph ngày xưa. Hình đêl-tô có thể có diện tích nhỏ hơn rất nhiều so với hình tròn bao quanh cây kim xoay như một vận động viên tung gậy. Những nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này đang cố gắng tìm hình đêl-tô nhỏ nhất có thể – bất kể hình dạng đó cuối cùng là gì – qua nhiều loại không gian khác nhau.
Tập Kakeya – được đặt theo tên phát hiện của Sōichi Kakeya – đã trở nên phức tạp hơn bởi một nhà toán học sau đó là Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển động vào một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một vật thể nhất định bằng các điểm có thể lại gần nhau hơn đến mức gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan rằng không gian đó hoàn toàn không tồn tại. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh ý nghĩa trực quan này mà không có nền tảng trong toán học. Kết quả là, câu hỏi này – và những câu hỏi khác tương tự – đã lập thành một chuỗi domino, dẫn đến sự hình thành của lý thuyết đo hình học.
Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng thực tế, chúng đã xuất hiện từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học… theo cách nói nào đó. Kể từ đó, các nhà toán học đã gặp khó khăn với nhiều loại tập Kakeya trong những không gian khác nhau và với những đặc tính khác nhau. Dù sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một đối tượng có thể có.
Như thường thấy trong những đột phá ngày nay, bí quyết cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – chính là việc xem xét lại vấn đề hóc búa này thông qua cách suy nghĩ khác. Trong một tuyên bố của NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC, Pablo Shmerkin, giải thích rằng trong khi nó xây dựng dựa trên “các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều cái nhìn mới cùng với sự thành thạo kỹ thuật đáng kinh ngạc.” Chẳng hạn, các tác giả đã tìm ra một tuyên bố về các giao điểm của ống mà vừa tổng quát hơn dự đoán Kakeya vừa dễ dàng hơn để xử lý với một phương pháp mạnh mẽ được biết đến là quy nạp theo quy mô.
Thông qua việc thực hiện những thay đổi và làm rõ các điểm quan trọng trong vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp thường liên quan đến việc chỉ ra một mối quan hệ giữa, ví dụ, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến các giá trị cụ thể đó thành một tổng quát hóa bằng ký hiệu toán học, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải quyết toán học để mà một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô thì tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi đùa với… vâng… quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của họ, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì chỉ là các đường thẳng hoặc hình dạng cây kim đơn giản. Chúng ta đều biết ống là gì, nhưng về mặt toán học, nó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí cụ thể so với một đường thẳng, đường cong, hoặc hình dạng nào đó – như một ống xoắn, hình tròn, hoặc nút thắt. Điều đó có nghĩa là nó có một số chiều ba khi áp dụng cho một hình hai chiều, chuyển đổi một đoạn thẳng thành một ống hút. Kích thước của những ống này có thể được điều chỉnh để chỉ ra các thuộc tính về những cây kim mà chúng bao quanh.
Giải thưởng Fields Medal – một sự ghi nhận cao quý trong giới toán học – Terence Tao, một người vĩ đại trong lĩnh vực toán học liên quan, đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài viết trên blog, nơi ông cũng gọi công việc này là “tiến bộ ngoạn mục.” Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người lặp đi lặp lại các phần nhỏ của cùng một vấn đề – quá trình này vừa là một phần điêu khắc vừa là một phần giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã chỉ ra nhiều chỗ mà công việc có thể tiếp tục được lặp lại, giờ đây khi phần này đã được hoàn thiện.
Zahl nhận bằng cử nhân vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy có thể sinh ra vào năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Giải thưởng Fields Medal tiếp theo, được giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Vấn đề toán học, như các bạn trẻ nói, có thể đang “thăng hoa” đối với hai nhà toán học này.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
