Hai nhà toán học đã áp dụng một phương pháp hình học mới để giải quyết một vấn đề rất cũ trong đại số. Trong trường học, chúng ta thường học cách nhân và phân tích các phương trình đa thức như (x² – 1) hay (x² + 2x + 1). Tuy nhiên, trong thực tế, những phương trình này thường trở nên phức tạp rất nhanh. Trên thực tế, các nhà toán học thường chỉ xấp xỉ các nghiệm cho những phương trình đa thức có bậc cao hơn một giá trị nhất định, được gọi là đa thức bậc cao. Trong bài viết này, các tác giả đưa ra rằng họ có thể sử dụng một thước đo từ hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra các nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao.
Số Catalan là hậu quả tự nhiên quan sát được từ nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua các nỗ lực như tinh lọc các hệ số đa thức từ tam giác Pascal. Chúng cũng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp cây trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng định lượng được bao nhiêu cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người đứng đầu công trình này, nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau khi giảng dạy tại trường đại học này từ năm 1990. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” đối với một số nền tảng toán học, điều này thể hiện phần nào qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực toán học. Sự phản đối đối với các số vô hạn hoặc vô tỉ là điểm mấu chốt trong nghiên cứu này.
Trong nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là “không thể” giải quyết một số đa thức nhất định. Chúng không thể được phân tách thành một thuật ngữ toán học nào đó phù hợp với dấu căn (hay gọi là căn bậc hai). Tuy nhiên, theo quan điểm của Wildberger, việc chú trọng vào sự chia cắt này và ở lại trong dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên “lách qua” nó hoàn toàn. Để đưa ra lập luận này, Wildberger đã kết hợp với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong suốt nhiều thập kỷ, Rubine đã dẫn dắt việc tính toán tại một quỹ đầu cơ bí mật tập trung vào các thuật toán.
Bài viết mang nét dạy dỗ, giống như một chương trong tài liệu giáo khoa tốt. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, rồi dần xây dựng các lập luận thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là một mảng ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một sự mở rộng bao gồm những số khác thỏa mãn điều kiện để giải quyết các đa thức. (Nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không cần phải phù hợp với tất cả các ứng dụng khác của các số Catalan - thay vào đó, các số Catalan là một cơ sở để bắt đầu xây dựng một bộ riêng biệt nhằm giải quyết vấn đề đa thức.) Tất cả được gói gọn trong một mảng gọi là Geode, bao gồm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi đi qua công trình dẫn tới và bao gồm mảng Geode, Wildberger đã có một nhận thức sâu sắc cuối cùng: Nội dung của bài viết do một hình thức bất thường và một nhà điều hành định lượng lâu năm tạo ra có thể gặp nhiều khó khăn để được công nhận rộng rãi. Bài viết được xuất bản trên tạp chí American Mathematical Monthly, một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi liên quan đến Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo, cung cấp dịch vụ chỉnh sửa có phí, và còn có tùy chọn cho các tác giả trả tiền để xuất bản các bài viết của họ dưới hình thức truy cập mở - thường là vài ngàn đô la hoặc hơn. (Cách tiếp cận này, không may, là mô hình và chi phí chuẩn hóa cho việc xuất bản truy cập mở.)
Trong trường hợp này, cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả của việc đề tài đơn giản không còn nằm trong tầm mắt của hầu hết mọi người. Nhưng điều này cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger để cắt giảm những điều không cần thiết trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt. Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng ông đã theo dõi sát sao công trình của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “[H]e đã thực hiện một loạt video dạy cho người nghiệp dư cách làm nghiên cứu toán học,” Rubine nói. “Đối với bài toán đầu tiên, ông ấy nói rằng ông ấy sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi nghĩ đó là một trò đùa, vì ai cũng ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã hoàn thành. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết bài, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, mà sau đó phát triển thành bài viết này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể thực sự là một đối thủ xứng tầm với chính vô hạn. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Và trong bài viết, ông cùng Rubine đã chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta hãy cùng chờ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có nắm bắt được một số câu hỏi này hay không. Cá nhân mình rất hy vọng như vậy, bởi vì 41 video nữa sẽ là một khoảng thời gian dài để chờ đợi đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
Số Catalan là hậu quả tự nhiên quan sát được từ nhiều tình huống toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua các nỗ lực như tinh lọc các hệ số đa thức từ tam giác Pascal. Chúng cũng giúp các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp cây trong các tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng định lượng được bao nhiêu cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người đứng đầu công trình này, nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia. Ông đã nghỉ hưu vào năm 2021 sau khi giảng dạy tại trường đại học này từ năm 1990. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” đối với một số nền tảng toán học, điều này thể hiện phần nào qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô hạn hoặc các khái niệm vô hạn trong một số lĩnh vực toán học. Sự phản đối đối với các số vô hạn hoặc vô tỉ là điểm mấu chốt trong nghiên cứu này.
Trong nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta đơn giản là “không thể” giải quyết một số đa thức nhất định. Chúng không thể được phân tách thành một thuật ngữ toán học nào đó phù hợp với dấu căn (hay gọi là căn bậc hai). Tuy nhiên, theo quan điểm của Wildberger, việc chú trọng vào sự chia cắt này và ở lại trong dấu căn là một trở ngại. Chúng ta nên “lách qua” nó hoàn toàn. Để đưa ra lập luận này, Wildberger đã kết hợp với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong suốt nhiều thập kỷ, Rubine đã dẫn dắt việc tính toán tại một quỹ đầu cơ bí mật tập trung vào các thuật toán.
Bài viết mang nét dạy dỗ, giống như một chương trong tài liệu giáo khoa tốt. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, rồi dần xây dựng các lập luận thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là một mảng ‘hyper-Catalan’, bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một sự mở rộng bao gồm những số khác thỏa mãn điều kiện để giải quyết các đa thức. (Nhớ rằng, chuỗi số hyper-Catalan không cần phải phù hợp với tất cả các ứng dụng khác của các số Catalan - thay vào đó, các số Catalan là một cơ sở để bắt đầu xây dựng một bộ riêng biệt nhằm giải quyết vấn đề đa thức.) Tất cả được gói gọn trong một mảng gọi là Geode, bao gồm toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi đi qua công trình dẫn tới và bao gồm mảng Geode, Wildberger đã có một nhận thức sâu sắc cuối cùng: Nội dung của bài viết do một hình thức bất thường và một nhà điều hành định lượng lâu năm tạo ra có thể gặp nhiều khó khăn để được công nhận rộng rãi. Bài viết được xuất bản trên tạp chí American Mathematical Monthly, một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi liên quan đến Hiệp hội Toán học Mỹ. Tạp chí này chấp nhận quảng cáo, cung cấp dịch vụ chỉnh sửa có phí, và còn có tùy chọn cho các tác giả trả tiền để xuất bản các bài viết của họ dưới hình thức truy cập mở - thường là vài ngàn đô la hoặc hơn. (Cách tiếp cận này, không may, là mô hình và chi phí chuẩn hóa cho việc xuất bản truy cập mở.)
Trong trường hợp này, cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả của việc đề tài đơn giản không còn nằm trong tầm mắt của hầu hết mọi người. Nhưng điều này cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger để cắt giảm những điều không cần thiết trong toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt. Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng ông đã theo dõi sát sao công trình của Wildberger về vấn đề này từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố rằng ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “[H]e đã thực hiện một loạt video dạy cho người nghiệp dư cách làm nghiên cứu toán học,” Rubine nói. “Đối với bài toán đầu tiên, ông ấy nói rằng ông ấy sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi nghĩ đó là một trò đùa, vì ai cũng ‘biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã hoàn thành. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết bài, vì vậy tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông ấy, mà sau đó phát triển thành bài viết này.”
Với quyết tâm như vậy, Wildberger có thể thực sự là một đối thủ xứng tầm với chính vô hạn. Cách tiếp cận dân chủ và cởi mở của ông đối với tư duy toán học thật đáng ngưỡng mộ. Và trong bài viết, ông cùng Rubine đã chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta hãy cùng chờ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có nắm bắt được một số câu hỏi này hay không. Cá nhân mình rất hy vọng như vậy, bởi vì 41 video nữa sẽ là một khoảng thời gian dài để chờ đợi đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
