Hai nhà toán học đã áp dụng một phương pháp hình học mới nhằm giải quyết một bài toán rất cũ trong đại số. Trong trường học, chúng ta thường học cách nhân và phân tích các phương trình đa thức như (x² – 1) hay (x² + 2x + 1). Tuy nhiên, trong thực tế, những phương trình này thường trở nên rất phức tạp rất nhanh chóng. Thực tế là các nhà toán học thường chỉ có thể ước lượng các nghiệm của những phương trình đa thức có bậc cao hơn, được gọi là đa thức bậc cao.
Trong bài viết này, các tác giả cho rằng họ có thể sử dụng một chỉ số từ hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra các nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là một hệ quả tự nhiên của nhiều kịch bản toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc chắt lọc tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng hỗ trợ các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính trong việc lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra số lượng cách sắp xếp cây khác nhau có thể được thực hiện trong những tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng định lượng được số cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người đứng đầu công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, hiện là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia, một danh hiệu phản ánh việc ông đã nghỉ hưu vào năm 2021, sau khi dạy học tại trường từ năm 1990. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” trong một số nền tảng toán học, thể hiện qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô cực hay các khái niệm vô hạn trong một số phần của toán học.
Sự phản đối này đối với các số vô hạn hoặc số vô tỉ là chìa khóa cho nghiên cứu này. Trong nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta không thể giải quyết được một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào đó phù hợp với dấu căn (ký hiệu radical). Nhưng theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào ranh giới này và cư trú bên trong dấu căn là một trở ngại. Thay vào đó, chúng ta nên “đi vòng” qua nó.
Để đưa ra lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt công việc tính toán tại một quỹ đầu cơ bí mật tập trung vào các thuật toán. Bài viết có tính chất giáo dục, đọc giống như một chương trong một cuốn sách giáo khoa tốt. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, sau đó lần lượt xây dựng lập luận thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là một mảng 'hyper-Catalan', bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một sự mở rộng bao gồm các số khác đáp ứng các điều kiện để giải quyết đa thức. Mảng này được gói gọn trong một cấu trúc gọi là Geode, bao quát toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi bước qua các công trình dẫn đến và bao gồm mảng Geode, Wildberger đã có một lời nhắn nhủ cuối cùng: Với việc được viết bởi một nhà tư tưởng có bề dày kinh nghiệm và một quản lý định lượng lâu năm, công trình này có thể gặp nhiều khó khăn hơn để được công nhận rộng rãi. Nó cũng được công bố trên tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi liên quan đến Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Tạp chí này chấp nhận nhà quảng cáo, cung cấp dịch vụ chỉnh sửa có phí và có tùy chọn cho phép tác giả trả tiền để làm cho các bài báo của họ mở truy cập - thường từ vài nghìn đô la trở lên. Cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả của việc chủ đề này không còn nằm trong tầm ngắm của đa số mọi người. Nhưng điều này cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger để cắt giảm những phần thừa của toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng ông đã theo dõi chặt chẽ công việc của Wildberger về vấn đề này kể từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đang thực hiện một chuỗi bài giảng nơi ông sẽ dạy những người nghiệp dư cách làm nghiên cứu toán học,” Rubine chia sẻ. “Trong vấn đề đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi đã nghĩ đó là một trò đùa, vì mọi người ‘đều biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết nó ra, nên tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông, bản nháp đó đã phát triển thành bài báo này.”
Với sự quyết tâm như vậy, Wildberger có thể, sau cùng, là một đối thủ thích hợp cho chính vô cực. Cách tiếp cận dân chủ, mở cửa của ông đối với tư duy toán học thực sự rất đáng ngưỡng mộ. Và trong bài viết, ông và Rubine đã chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có khám phá một số câu hỏi này hay không. Riêng mình, mình hy vọng như vậy, vì 41 video nữa thì quả là một khoảng thời gian dài để chờ đợi một đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
Trong bài viết này, các tác giả cho rằng họ có thể sử dụng một chỉ số từ hình học gọi là số Catalan, hay chuỗi Catalan, để tìm ra các nghiệm chính xác cho các đa thức bậc cao. Số Catalan là một hệ quả tự nhiên của nhiều kịch bản toán học khác nhau và có thể được tìm thấy thông qua việc chắt lọc tam giác Pascal của các hệ số đa thức. Chúng hỗ trợ các nhà lý thuyết đồ thị và các nhà khoa học máy tính trong việc lập kế hoạch cho các cấu trúc dữ liệu gọi là cây, bằng cách chỉ ra số lượng cách sắp xếp cây khác nhau có thể được thực hiện trong những tham số nhất định. Trong trường hợp này, chúng cũng định lượng được số cách bạn có thể chia một đa giác bất kỳ thành một số lượng tam giác nhất định.
Người đứng đầu công trình này là nhà toán học Norman “N.J.” Wildberger, hiện là giáo sư danh dự tại Đại học New South Wales ở Australia, một danh hiệu phản ánh việc ông đã nghỉ hưu vào năm 2021, sau khi dạy học tại trường từ năm 1990. Wildberger tự nhận mình là một “kẻ dị giáo” trong một số nền tảng toán học, thể hiện qua niềm tin lâu dài của ông rằng chúng ta nên ngừng sử dụng vô cực hay các khái niệm vô hạn trong một số phần của toán học.
Sự phản đối này đối với các số vô hạn hoặc số vô tỉ là chìa khóa cho nghiên cứu này. Trong nhiều năm qua, những người nghiên cứu đại số đã biết rằng chúng ta không thể giải quyết được một số đa thức nhất định. Chúng không thể được tách ra thành một thuật ngữ toán học nào đó phù hợp với dấu căn (ký hiệu radical). Nhưng theo quan điểm của Wildberger, việc tập trung vào ranh giới này và cư trú bên trong dấu căn là một trở ngại. Thay vào đó, chúng ta nên “đi vòng” qua nó.
Để đưa ra lập luận này, Wildberger đã hợp tác với Dean Rubine, một nhà khoa học máy tính đã làm việc tại Bell Labs và Đại học Carnegie Mellon. Tuy nhiên, trong nhiều thập kỷ qua, Rubine đã giúp dẫn dắt công việc tính toán tại một quỹ đầu cơ bí mật tập trung vào các thuật toán. Bài viết có tính chất giáo dục, đọc giống như một chương trong một cuốn sách giáo khoa tốt. Các tác giả trình bày và định nghĩa các thuật ngữ của họ, sau đó lần lượt xây dựng lập luận thành một bức tranh hoàn chỉnh. Kết quả là một mảng 'hyper-Catalan', bao gồm các số Catalan cổ điển cũng như một sự mở rộng bao gồm các số khác đáp ứng các điều kiện để giải quyết đa thức. Mảng này được gói gọn trong một cấu trúc gọi là Geode, bao quát toàn bộ chuỗi số hyper-Catalan.
Sau khi bước qua các công trình dẫn đến và bao gồm mảng Geode, Wildberger đã có một lời nhắn nhủ cuối cùng: Với việc được viết bởi một nhà tư tưởng có bề dày kinh nghiệm và một quản lý định lượng lâu năm, công trình này có thể gặp nhiều khó khăn hơn để được công nhận rộng rãi. Nó cũng được công bố trên tạp chí American Mathematical Monthly - một tạp chí có sự quan tâm rộng rãi liên quan đến Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ. Tạp chí này chấp nhận nhà quảng cáo, cung cấp dịch vụ chỉnh sửa có phí và có tùy chọn cho phép tác giả trả tiền để làm cho các bài báo của họ mở truy cập - thường từ vài nghìn đô la trở lên. Cách tiếp cận ít chính thống này có thể là kết quả của việc chủ đề này không còn nằm trong tầm ngắm của đa số mọi người. Nhưng điều này cũng phù hợp với cuộc tìm kiếm suốt đời của Wildberger để cắt giảm những phần thừa của toán học và trình bày những ý tưởng rõ ràng, đơn giản cho càng nhiều người càng tốt.
Trên diễn đàn công nghệ Hacker News (thuộc vườn ươm khởi nghiệp Y Combinator), Rubine đã giải thích trong một bài viết rằng ông đã theo dõi chặt chẽ công việc của Wildberger về vấn đề này kể từ năm 2021, khi Wildberger tuyên bố ông sẽ giải quyết vấn đề này trên kênh YouTube của mình. “Ông ấy đang thực hiện một chuỗi bài giảng nơi ông sẽ dạy những người nghiệp dư cách làm nghiên cứu toán học,” Rubine chia sẻ. “Trong vấn đề đầu tiên, ông ấy nói rằng ông sẽ giải quyết đa thức tổng quát. Tôi đã nghĩ đó là một trò đùa, vì mọi người ‘đều biết’ rằng chúng ta không thể vượt qua bậc bốn. Nhưng không, sau 41 video, ông ấy đã làm được. Hai năm sau đó, ông ấy vẫn chưa viết nó ra, nên tôi đã viết một bản nháp và gửi cho ông, bản nháp đó đã phát triển thành bài báo này.”
Với sự quyết tâm như vậy, Wildberger có thể, sau cùng, là một đối thủ thích hợp cho chính vô cực. Cách tiếp cận dân chủ, mở cửa của ông đối với tư duy toán học thực sự rất đáng ngưỡng mộ. Và trong bài viết, ông và Rubine đã chỉ ra nhiều câu hỏi mà lý thuyết này mở ra. Chúng ta sẽ xem liệu những người trong cộng đồng toán học có khám phá một số câu hỏi này hay không. Riêng mình, mình hy vọng như vậy, vì 41 video nữa thì quả là một khoảng thời gian dài để chờ đợi một đột phá tiếp theo.
Nguồn tham khảo: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64729418/polynomial-solution/
