Hai nhà toán học hiện đang công bố những tiến bộ trong một bài toán lâu đời chưa có lời giải. Bài toán này thuộc một lĩnh vực con gọi là lý thuyết đo hình học, nơi các tập hợp đối tượng được tổng quát hóa một cách phức tạp thông qua các thuộc tính như đường kính và diện tích. Theo nghiên cứu gần đây của họ (chưa được phản biện), việc khảo sát các khía cạnh qua lăng kính hình học có thể tiết lộ những phẩm chất thú vị mà các đối tượng có thể chia sẻ, điều này mang lại giá trị cao trong lĩnh vực toán học ngày càng liên ngành.
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học có tên gọi là tập Kakeya, các nhà toán học đang thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung nó như một con quay trong trò chơi hay một người biểu diễn cầm gậy, vì kim được xoay phải tạo thành một hình tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các kim khác nhau và vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng “nếu bạn di chuyển nó theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêltoit, một hình dạng gần giống tam giác có thể khiến bạn nhớ tới món đồ chơi Spirograph ngày xưa. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh kim xoay như một cây gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này thực chất đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể – dù hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì – trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya – được đặt theo tên của nhà phát minh Sōichi Kakeya – đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác có tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng nhất định bằng các điểm có thể gần hơn và gần hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không còn diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này – và những vấn đề tương tự, tất cả đều hấp dẫn đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự – đã tạo ra một chuỗi domino, giúp hình thành nên lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của chai Klein (một biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi nhét vào phiên bản ba chiều mà bộ não của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập suy nghĩ từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học... theo cách nói của mình. Kể từ đó, các nhà toán học đã cố gắng tìm ra nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau với những đặc tính khác nhau. Dù sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường thấy trong các đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – là việc định hình lại vấn đề khó khăn này bằng cách tư duy từ bên ngoài. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những bước tiến gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới với kỹ thuật tinh vi đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng hơn để giải quyết bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay đổi và làm rõ quan trọng cho vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc cho thấy mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ là 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của mình, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết một ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định cách một đường thẳng, đường cong hoặc hình dáng cho trước – như một cái xoắn ốc, hình tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định của chính nó khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để thể hiện các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields Terence Tao (chính anh cũng là một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài đăng chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người tiếp tục lặp đi lặp lại những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là đục đẽo vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã lưu ý một số nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây khi phần này đã được thiết lập. Zahl đã tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy sinh ra vào khoảng năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, chỉ giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ thường nói, có thể đang “đến thời” cho hai nhà toán học này.
Nguồn: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
Trong một câu hỏi đặc biệt trong hình học có tên gọi là tập Kakeya, các nhà toán học đang thắc mắc về diện tích nhỏ nhất mà một đường thẳng, hay còn gọi là kim, có thể xoay hoàn toàn qua 360 độ. Bạn có thể hình dung nó như một con quay trong trò chơi hay một người biểu diễn cầm gậy, vì kim được xoay phải tạo thành một hình tròn. Nhưng thực tế thì phức tạp hơn nhiều, vì không gian có thể được tái sử dụng bởi các kim khác nhau và vị trí của kim không cần phải có cùng một điểm giữa. Joseph Howllette đã giải thích cho Quanta rằng “nếu bạn di chuyển nó theo những cách khéo léo, bạn có thể làm tốt hơn rất nhiều”. Điều này tạo ra những hình dạng như hình đêltoit, một hình dạng gần giống tam giác có thể khiến bạn nhớ tới món đồ chơi Spirograph ngày xưa. Hình đêltoit có thể có diện tích nhỏ hơn nhiều so với hình tròn bao quanh kim xoay như một cây gậy.
Các nhà toán học nghiên cứu câu hỏi này thực chất đang cố gắng tìm ra hình đêltoit nhỏ nhất có thể – dù hình dạng đó cuối cùng sẽ là gì – trên nhiều loại không gian khác nhau. Tập Kakeya – được đặt theo tên của nhà phát minh Sōichi Kakeya – đã được phức tạp hóa bởi một nhà toán học khác có tên Abram Samoilovitch Besicovitch. Besicovitch đã giới thiệu ý tưởng rằng một tập Kakeya chuyển sang một số chiều khác có thể có diện tích bằng không. Đây là một định nghĩa cụ thể liên quan đến việc bao quanh một đối tượng nhất định bằng các điểm có thể gần hơn và gần hơn cho đến khi chúng gần như biến mất, với ý nghĩa trực quan là không còn diện tích nào cả. Các nhà toán học không thể viết ra và chứng minh một ý nghĩa trực quan mà không có nền tảng trong toán học. Do đó, câu hỏi này – và những vấn đề tương tự, tất cả đều hấp dẫn đối với những người đã đắm chìm trong các khái niệm tương tự – đã tạo ra một chuỗi domino, giúp hình thành nên lĩnh vực lý thuyết đo hình học.
Nếu bạn từng thấy một hình minh họa của chai Klein (một biểu tượng của một hình dạng bốn chiều bị nhồi nhét vào phiên bản ba chiều mà bộ não của chúng ta có thể hiểu), đó là một ví dụ về một bài tập suy nghĩ từ lý thuyết đo hình học. Kakeya qua đời vào năm 1947 và Besicovitch qua đời vào năm 1970, vì vậy ngay cả những phiên bản mới nhất của các câu hỏi này cũng đã mở và chưa được chứng minh trong ít nhất 55 năm. Nhưng chúng thực sự có từ 100 năm trước, khi cả hai người đàn ông đang ở đỉnh cao của sự nghiệp toán học... theo cách nói của mình. Kể từ đó, các nhà toán học đã cố gắng tìm ra nhiều loại tập Kakeya trong các không gian khác nhau với những đặc tính khác nhau. Dù sao, không có giới hạn nào cho số chiều mà một thứ có thể có.
Như thường thấy trong các đột phá ngày nay, bí mật cho hai nhà toán học này – Hong Wang từ Đại học New York (NYU) và Joshua Zahl từ Đại học British Columbia (UBC) – là việc định hình lại vấn đề khó khăn này bằng cách tư duy từ bên ngoài. Trong một tuyên bố từ NYU, đồng nghiệp của Zahl tại UBC là Pablo Shmerkin đã giải thích rằng trong khi nó xây dựng trên “những bước tiến gần đây trong lĩnh vực này, giải pháp này kết hợp nhiều hiểu biết mới với kỹ thuật tinh vi đáng kinh ngạc.” Ví dụ, các tác giả đã có thể tìm ra một tuyên bố về sự giao nhau của các ống, vừa tổng quát hơn giả thuyết Kakeya vừa dễ dàng hơn để giải quyết bằng một phương pháp mạnh mẽ được gọi là quy nạp theo quy mô.
Bằng cách thực hiện những thay đổi và làm rõ quan trọng cho vấn đề gốc, Wang và Zahl đã mở ra cho một loại chứng minh gọi là quy nạp theo quy mô. Chứng minh cổ điển bằng quy nạp liên quan đến việc cho thấy mối quan hệ giữa, chẳng hạn, giá trị 1 và giá trị 2. Nếu bạn có thể biến những giá trị cụ thể đó thành một tổng quát bằng ký hiệu toán học thay vào đó, như n và (n + 1), bạn có thể đơn giản hóa và giải toán sao cho một giải pháp áp dụng cho tất cả các giá trị có thể của n, không chỉ là 1 và 2.
Quy nạp theo quy mô cũng tương tự, nhưng liên quan đến việc chơi với... vâng, quy mô của một cái gì đó. Trong chứng minh của mình, Wang và Zahl xem xét các ống thay vì các đường thẳng đơn giản hoặc hình dạng kim. Chúng ta đều biết một ống là gì, nhưng về mặt toán học, đó là một tập hợp các điểm ở một khoảng cách và vị trí nhất định cách một đường thẳng, đường cong hoặc hình dáng cho trước – như một cái xoắn ốc, hình tròn, hoặc nút thắt. Điều này có nghĩa là nó có một chiều ba nhất định của chính nó khi áp dụng cho một hình hai chiều, biến một đoạn thẳng thành một chiếc ống hút. Kích thước của những ống đó sau đó có thể được điều chỉnh để thể hiện các thuộc tính về các kim mà chúng bao quanh.
Người đoạt Huy chương Fields Terence Tao (chính anh cũng là một nhân vật nổi bật trong lĩnh vực toán học liên quan) đã phân tích chứng minh dài 125 trang này trong một bài đăng chi tiết trên blog, nơi ông cũng gọi công trình này là “tiến bộ ngoạn mục”. Những chứng minh phức tạp như thế này thường xuất hiện qua nhiều thập kỷ khi mọi người tiếp tục lặp đi lặp lại những phần nhỏ của cùng một vấn đề – một quá trình vừa là đục đẽo vừa là giải mã từng chữ cái. Trong phân tích của mình, Tao đã lưu ý một số nơi mà công việc này có thể được lặp lại lần nữa, giờ đây khi phần này đã được thiết lập. Zahl đã tốt nghiệp đại học vào năm 2008, có nghĩa là anh ấy sinh ra vào khoảng năm 1986. Trang Wikipedia của Wang cho biết cô sinh năm 1991. Huy chương Fields tiếp theo, chỉ giới hạn cho các nhà toán học dưới 40 tuổi, sẽ được trao vào năm 2026. Toán học, như các bạn trẻ thường nói, có thể đang “đến thời” cho hai nhà toán học này.
Nguồn: https://www.popularmechanics.com/science/math/a64392219/100-year-old-problem-proof/
